(OLIMPÍADA CARIOCA) Determine o maior fator primo que divide o número 3^14+3^13-12.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa achar o maior fator primo de
N = 3^14 + 3^13 - 12
Conteúdo da matéria: teoria dos números, fatoração de expressões algébricas e propriedades de potências. Vamos usar: fator comum, diferença de quadrados e fatoração inteira de números.

Passo 2

Primeiro a gente agrupa os dois primeiros termos com fator comum:
3^14 + 3^13 = 3^13(3 + 1) = 4cdot 3^13
Então
N = 4cdot 3^13 ;-; 12 = 4l(3^13 - 3r)
Aqui usei a propriedade de fator comum: .

Passo 3

Agora fatoramos 3^13 - 3 = 3l(3^12 - 1r) . Perceba que dá para tirar em evidência:
Isso vem da regra .

Passo 4

A expressão 3^12 - 1 = l(3^6r)^2 - 1^2 = (3^6 - 1)(3^6 + 1) é diferença de quadrados, pois
Usei a fórmula .

Passo 5

Calculemos 3^6 = 729, 3^6 - 1 = 728, 3^6 + 1 = 730 :
Agora fatoramos inteiramente:
  • .
  • .
    E lembre-se de e do fator que já tiramos.

Passo 6

Reunindo tudo,
N = 4 times 3 times (728) times (730) = 2^2 times 3 times l(2^3! times7times13r) times l(2times5times73r)
Somando os expoentes de 2: N = 2^6 times 3 times 5 times 7 times 13 times 73 . Logo
Os fatores primos são . O maior é .

Resposta

O maior fator primo é 73.

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