Determine o valor da soma:
S=12 raiz1+1 raiz2+13 raiz2+2 raiz3+ldots+1100 raiz99+99 raiz100

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a soma
S=12raiz1+1raiz2+13raiz2+2raiz3+cdots+1100raiz99+99raiz100
Isso faz parte de soma de termos que “telescopam” depois de racionalizar o denominador.
O que vamos precisar:
- Racionalizar cada termo para ver um padrão.
- Entender somas telescópicas (onde muita coisa se cancela).

Passo 2

Vamos pegar o termo genérico de índice k, que é
Tk=1(k+1)raizk+kraizk+1, k=1,2,dots,99
A estratégia de racionalizar é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado:
(k+1)raizk-kraizk+1
Fazendo isso:
Tk=(k+1)raizk-kraizk+1l((k+1)raizk+kraizk+1r)l((k+1)raizk-kraizk+1r)

Passo 3

Calculemos o denominador após a multiplicação:
l((k+1)raizkr)^2&- l(kraizk+1r)^2 &=(k+1)^2,k ;-; k^2,(k+1) &=k(k+1)l((k+1)-kr) &=k(k+1),
Então
Tk=(k+1)raizk-kraizk+1k(k+1) =(k+1)raizkk(k+1)-kraizk+1k(k+1) =raizkk-raizk+1,k+1,

Passo 4

Repare que raizkk=1raizk e raizk+1k+1=1raizk+1.
Então
Tk=1raizk-1raizk+1
Isso é uma soma telescópica, pois ao somar de k=1 até 99 muita coisa cancela:
S=sumk=1^99l(1raizk-1raizk+1r) =l(1raiz1-1raiz2r) +l(1raiz2-1raiz3r) +cdots +l(1raiz99-1raiz100r)

Passo 5

Ao escrever tudo, quase todos os termos internos se cancelam, sobrando só
1raiz1-1raiz100=1-110=910

Resposta

S=910

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