Então a pergunta é: determinar os coeficientes b_{0},b_{1},b_{2},b_{3} que melhor ajustam esses pontos (isto é, encontrar os coeficientes do polinômio de grau 3 que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicação didática, passo a passo):
Temos 8 observações e 4 parâmetros — sistema sobre-determinado — então usamos mínimos quadrados lineares para obter o ajuste ótimo no sentido dos quadrados dos resíduos. A forma matricial do problema é:
onde \mathbf{b}=(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})^{T}, \mathbf{y} é o vetor das observações de y e \mathbf{X} é a matriz de desenho com colunas 1,x,x^{2},x^{3}. A solução de mínimos quadrados (normal equations) é
Vou explicar cada termo: \mathbf{X}^{T}\mathbf{X} é a matriz de somas de potências de x (elementos como \sum x^{k}), e \mathbf{X}^{T}\mathbf{y} são as somas cruzadas \sum x^{k}y. Precisamos calcular essas somas a partir dos pontos.
Passo 3
Calcular as somas necessárias (vou construir as somas \sum x^{k} e \sum x^{k}y para k até 6, porque aparecem em \mathbf{X}^{T}\mathbf{X}).
Faço uma tabela (cada linha é um ponto); os cálculos abaixo foram feitos a partir da tabela do enunciado:
Para cada ponto (x,y) computei x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},x^{6},x y,x^{2}y,x^{3}y. Somando todas as colunas obtive:
Verificação rápida (controle): plugando os coeficientes obtidos em alguns x temos previsões próximas dos y observados (por exemplo, em x=5 o valor predito fica perto de 220), o que dá confiança num ajuste por mínimos quadrados.