Ajuste os pontos abaixo à equação y=b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2}+b_{3} x^{3}.
x -5 -4 -2 0 1 2 3 5
y 386 225 54 6 13 40 110 220

Passo 1

O que o problema pede: ajustar os oito pontos pela equação y=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+b_{3}x^{3}.
Dados fornecidos (tabela):
\begin{array}{c|cccccccc} x & -5 & -4 & -2 & 0 & 1 & 2 & 3 & 5\\hline y & 386 & 225 & 54 & 6 & 13 & 40 & 110 & 220 \end{array}
Então a pergunta é: determinar os coeficientes b_{0},b_{1},b_{2},b_{3} que melhor ajustam esses pontos (isto é, encontrar os coeficientes do polinômio de grau 3 que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática, passo a passo):
Temos 8 observações e 4 parâmetros — sistema sobre-determinado — então usamos mínimos quadrados lineares para obter o ajuste ótimo no sentido dos quadrados dos resíduos. A forma matricial do problema é:
\mathbf{y}=\mathbf{X}\mathbf{b}+\boldsymbol{\varepsilon},
onde \mathbf{b}=(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3})^{T}, \mathbf{y} é o vetor das observações de y e \mathbf{X} é a matriz de desenho com colunas 1,x,x^{2},x^{3}. A solução de mínimos quadrados (normal equations) é
\mathbf{X}^{T}\mathbf{X}\,\mathbf{b}=\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}.
Vou explicar cada termo: \mathbf{X}^{T}\mathbf{X} é a matriz de somas de potências de x (elementos como \sum x^{k}), e \mathbf{X}^{T}\mathbf{y} são as somas cruzadas \sum x^{k}y. Precisamos calcular essas somas a partir dos pontos.

Passo 3

Calcular as somas necessárias (vou construir as somas \sum x^{k} e \sum x^{k}y para k até 6, porque aparecem em \mathbf{X}^{T}\mathbf{X}).
Faço uma tabela (cada linha é um ponto); os cálculos abaixo foram feitos a partir da tabela do enunciado:
Para cada ponto (x,y) computei x^{2},x^{3},x^{4},x^{5},x^{6},x y,x^{2}y,x^{3}y. Somando todas as colunas obtive:
\begin{aligned} n&=8,\\\ \sum x &= 0,\\\ \sum x^{2} &= 84,\\\ \sum x^{3} &= -36,\\\ \sum x^{4} &= 1620,\\\ \sum x^{5} &= -780,\\\ \sum x^{6} &= 36104,\\[4pt] \sum y &= 1054,\\\ \sum x y &= -1415,\\\ \sum x^{2}y &= 20129,\\\ \sum x^{3}y &= -32279. \end{aligned}
(Se você quiser, eu mostro a tabela linha a linha; aqui usei essas somas para montar as equações normais.)]

Passo 4

Montar as equações normais \mathbf{X}^{T}\mathbf{X}\mathbf{b}=\mathbf{X}^{T}\mathbf{y}. A matriz e o vetor ficam:
\begin{pmatrix} 8 & 0 & 84 & -36\\[2pt] 0 & 84 & -36 & 1620\\[2pt] 84 & -36 & 1620 & -780\\[2pt] -36 & 1620 & -780 & 36104 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{0}\\\ b_{1}\\\ b_{2}\\\ b_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1054\\\\ -1415\\\\ 20129\\\\ -32279\end{pmatrix}.
Agora resolvemos esse sistema linear simétrico. Vou fazer eliminação gaussiana explicando cada passo aritmético.]

Passo 5

Eliminação gaussiana (etapa 1: usar a primeira linha como pivô).
Divido a primeira linha por 8 para facilitar:
R_{1}\leftarrow \frac{1}{8}R_{1}:\quad [\,1,\;0,\;10{,}5,\;-4{,}5\mid 131{,}75\,].
Elimino as entradas da coluna 1 nas linhas 3 e 4:
\begin{aligned} R_{3}&\leftarrow R_{3}-84R_{1} \Rightarrow [\,0,\;-36,\;738,\;-402\mid 9062\,],\\\ R_{4}&\leftarrow R_{4}+36R_{1} \Rightarrow [\,0,\;1620,\;-402,\;35942\mid -27536\,]. \end{aligned}
A linha 2 já tem zero na coluna 1: R_{2}=[\,0,\,84,\,-36,\,1620\mid -1415\,].
Agora o subsistema para (b_{1},b_{2},b_{3}) é formado pelas linhas 2,3,4 acima.

Passo 6

Eliminação gaussiana (etapa 2: pivot em R_{2} para eliminar b_{1} nas linhas 3 e 4).
Usamos R_{2}=[\,84,\,-36,\,1620\mid -1415\,].
Para eliminar o -36 de R_{3} adicionamos \tfrac{3}{7}R_{2} a R_{3}:
R_{3}\leftarrow R_{3}+\frac{3}{7}R_{2}\\ \Rightarrow\\ [\,0,\;\tfrac{5058}{7},\;\tfrac{2046}{7}\mid \tfrac{59189}{7}\,].
Multiplicando por 7 para ficar com inteiros:
R_{3}\\ \text{(multiplicada por 7)} \Rightarrow [\,0,\;5058,\;2046\mid 59189\,].
Para eliminar o 1620 de R_{4} subtraímos \tfrac{135}{7}R_{2} de R_{4}:
R_{4}\leftarrow R_{4}-\frac{135}{7}R_{2}\\ \Rightarrow\\ [\,0,\;\tfrac{2046}{7},\;\tfrac{32894}{7}\mid -\tfrac{1727}{7}\,].
Multiplicando por 7:
R_{4}\\ \text{(multiplicada por 7)} \Rightarrow [\,0,\;2046,\;32894\mid -1727\,].
Agora temos o sistema 2×2 (para b_{2},b_{3}):
\begin{cases} 5058\,b_{2}+2046\,b_{3}=59189,\\[4pt] 2046\,b_{2}+32894\,b_{3}=-1727. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o 2×2 para b_{2} e b_{3} (uso regra de Cramer / eliminação).
Determinante:
\Delta=5058\cdot 32894-2046\cdot 2046=162191736.
Determinantes numeradores:
\begin{aligned} \Delta_{b_{2}}&=59189\cdot 32894-2046\cdot(-1727)=1950496408,\\[4pt] \Delta_{b_{3}}&=5058\cdot(-1727)-59189\cdot 2046=-129835860. \end{aligned}
Então
\begin{aligned} b_{2}&=\frac{\Delta_{b_{2}}}{\Delta}\approx \frac{1950496408}{162191736}\approx 12{,}0258759,\\[4pt] b_{3}&=\frac{\Delta_{b_{3}}}{\Delta}\approx \frac{-129835860}{162191736}\approx -0{,}8006920. \end{aligned}]

Passo 8

Calcular b_{1} usando a equação linha 2 original (antes da multiplicação por 7):
84\,b_{1}-36\,b_{2}+1620\,b_{3}=-1415.
Substituindo b_{2} e b_{3} e resolvendo para b_{1}:
b_{1}=\frac{-1415+36\,b_{2}-1620\,b_{3}}{84}\approx 3{,}7506231.

Passo 9

Calcular b_{0} usando a primeira equação normal (linha 1):
8\,b_{0}+84\,b_{2}-36\,b_{3}=1054,
logo
b_{0}=\frac{1054-84\,b_{2}+36\,b_{3}}{8}\approx 1{,}8751888.

Passo 10

Verificação rápida (controle): plugando os coeficientes obtidos em alguns x temos previsões próximas dos y observados (por exemplo, em x=5 o valor predito fica perto de 220), o que dá confiança num ajuste por mínimos quadrados.

Resposta

b_{0}=1{,}875189
b_{1}=3{,}750623
b_{2}=12{,}025876
b_{3}=-0{,}800692

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