Exercício 6- Utilize interpolação polinomial de Lagrange sobre 3 pontos e de Newton sobre 4 pontos para calcular um valor aproximado de \ln (2,7), considerando a tabela dada:
x_{i} 1 2 2,5 3 4
f\left(x_{i}\right) 0 0,6931 0,9163 1,0986 1,3863
Determine o erro exato e um limitante para o erro cometido pelo interpolador de Newton.

Passo 1

O enunciado nos pede duas aproximações de \ln(2,7):
  • Pelo polinômio de Lagrange de grau 2 em três pontos.
  • Pelo polinômio de Newton de grau 3 em quatro pontos, e para este último calcular o erro exato e um limitante.
    Vamos usar a tabela
\begin{array}{c|ccccc} x_i &1&2&2,5&3&4\\hline f(x_i)=\ln(x_i)&0&0,6931&0,9163&1,0986&1,3863 \end{array}
e trabalhar bem próximo de x=2,7.

Passo 2

Interpolação de Lagrange em \{2,\;2,5,\;3\}.
Definimos os polinômios base
L_0(x)=\frac{(x-2,5)(x-3)}{(2-2,5)(2-3)}=2\,(x-2,5)(x-3),
L_1(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(2,5-2)(2,5-3)}=-4\,(x-2)(x-3),
L_2(x)=\frac{(x-2)(x-2,5)}{(3-2)(3-2,5)}=2\,(x-2)(x-2,5).
O polinômio é
P_2(x)=0,6931\,L_0(x)+0,9163\,L_1(x)+1,0986\,L_2(x).
Em x=2,7 temos
L_0(2,7)=2\cdot(0,2)(-0,3)=-0,12,\quad L_1(2,7)=-4\cdot(0,7)(-0,3)=0,84,\quad L_2(2,7)=2\cdot(0,7)(0,2)=0,28,
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P_2(2,7)=0,6931\cdot(-0,12)+0,9163\cdot0,84+1,0986\cdot0,28 \approx0,99413.

Passo 3

Interpolação de Newton em \{2,\;2,5,\;3,\;4\}.
Os valores são
f_0=0,6931,\;f_1=0,9163,\;f_2=1,0986,\;f_3=1,3863.
Diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{0,9163-0,6931}{0,5}=0,4464, \quad f[x_1,x_2]=\frac{1,0986-0,9163}{0,5}=0,3646, \quad f[x_2,x_3]=\frac{1,3863-1,0986}{1}=0,2877.
Segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0,3646-0,4464}{3-2}=-0,0818, \quad f[x_1,x_2,x_3]=\frac{0,2877-0,3646}{4-2,5}=-0,05127.
Terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{-0,05127-(-0,0818)}{4-2}=0,0152667.
O polinômio de Newton fica
P_3(x)=0,6931 +0,4464\,(x-2) -0,0818\,(x-2)(x-2,5) +0,0152667\,(x-2)(x-2,5)(x-3).
Em x=2,7:
x-2=0,7,\;x-2,5=0,2,\;x-3=-0,3,
P_3(2,7) =0,6931 +0,4464\cdot0,7 -0,0818\cdot(0,7\cdot0,2) +0,0152667\cdot(0,7\cdot0,2\cdot(-0,3)) \approx0,6931+0,31248-0,011452-0,000641 \approx0,99349.

Passo 4

Erro exato para o interpolador de Newton:
\hbox{erro} = \ln(2,7)-P_3(2,7) \approx0,99325-0,99349\approx-2,36\times10^{-4}.

Passo 5

Limitante do erro usando o resto de ordem 4:
R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\,(x-2)(x-2,5)(x-3)(x-4),
com f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4}. No intervalo [2,4] vale
\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|\le\frac{6}{2^4}=0,375,
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|R_3(2,7)|\le\frac{0,375}{24}\,\bigl|0,7\cdot0,2\cdot(-0,3)\cdot(-1,3)\bigr| =0,015625\times0,0546\approx8,53\times10^{-4}.

Resposta

Aproximação por Lagrange (grau 2) em \{2,2,5,3\}:
P_2(2,7)\approx0,99413.
Aproximação por Newton (grau 3) em \{2,2,5,3,4\}:
P_3(2,7)\approx0,99349.
Erro exato do interpolador de Newton:
\ln(2,7)-P_3(2,7)\approx-2,36\times10^{-4}.
Limitante do erro:
|R_3(2,7)|\le8,53\times10^{-4}.

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