Ajuste os valores da tabela
x 2 5 8 11 14 17 27 31 41 44
c|cccccccccc x & 2 & 5 & 8 & 11 & 14 & 17 & 27 & 31 & 41 & 44 hline $f(x)$ & 94.8 & 89.7 & 81.3 & 74.9 & 68.7 & 64.0 & 49.3 & 44.0 & 39.1 & 31.6 94.8 89.7 81.3 74.9 68.7 64.0 49.3 44.0 39.1 31.6
através das famílias de funções:
a e^b x, 1a+b x, xa+b x

Passo 1

A gente tem uma tabela de pares xi e f(xi) e quer ajustar três modelos: a e^b x, 1/(a + b x) e x/(a + b x). Vamos usar transformações que tornam cada modelo numa regressão linear em dois parâmetros.

Passo 2

Para ajustar a e^b x faça a transformação Yi = ln f(xi) e Xi = xi. A equação linear é
Yi = ln a + b Xi
Usamos as fórmulas de regressão:
b = nsum XiYi - (sum Xi)(sum Yi)nsum Xi^2 - (sum Xi)^2,
ln a = sum Yi - bsum Xin
Calculando dos dados:
sum Xi = 200, sum Xi^2 = 6006, sum Yi = 40.9537, sum XiYi = 769.012
Daí vem b approx -0.02497 e ln a approx 4.5947, logo a approx e^4.5947 = 98.9.

Passo 3

Para ajustar 1/(a + b x) defina Zi = 1/f(xi) e ainda Xi = xi. A relação fica
Zi = a + bXi
De novo aplicamos regressão linear com
b = nsum XiZi - (sum Xi)(sum Zi)nsum Xi^2 - (sum Xi)^2,
a = sum Zi - bsum Xin
Dos dados:
sum Zi = 0.177768, sum XiZi = 4.48494
Isso dá b approx 4.637times10^-4 e a approx 0.008503.

Passo 4

Para ajustar x/(a + b x) note que
f(x) = xa + b x implies 1f(x) = a + b xx = a1x + b
Defina Ui = 1/xi e Zi = 1/f(xi). O modelo é
Zi = a Ui + b
As fórmulas de regressão são
a = nsum UiZi - (sum Ui)(sum Zi)nsum Ui^2 - (sum Ui)^2,
b = sum Zi - asum Uin
Com
sum Ui = 1.16258, ; sum Ui^2 = 0.325978, ; sum UiZi = 0.015042,
obtemos a approx -0.02951 e b approx 0.02121.

Passo 5

Pronto! Agora é só escrever cada função com seus parâmetros.

Resposta

Ajustes obtidos:
  1. Modelo exponencial:
f(x) = 98.9,e^-0.02497,x
  1. Modelo racional simples:
f(x) = 10.008503 + 0.0004637,x
  1. Modelo racional x/(a + bx):
f(x) = x-0.02951 + 0.02121,x

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