Usando o método dos mínimos quadrados encontrar a parábola que passa pela origem e ajusta os dados da tabela abaixo:
x |c|c|c|c|c|c|c| hline x & $-1,0$ & $-0,75$ & $-0,5$ & 0 & 0,5 & 1 hline $f(x)$ & 2,05 & 1,153 & 0,4 & 0 & 0,512 & 2,05 hline 0 0,5 1
2,05 1,153 0,4 0 0,512 2,05

Passo 1

O enunciado pede para ajustar por mínimos quadrados uma parábola da forma y = ax^2 + bx (passando pela origem, logo sem termo constante) aos 6 pares (xi,fi) fornecidos. O conteúdo aqui é ajuste por mínimos quadrados linear em parâmetros, e vamos precisar montar as equações normais usando as somas de potências de xi e de produtos xi fi.

Passo 2

Escrevemos a função de erro S(a,b)=sumi=1^6l(fi - (a xi^2 + b xi)r)^2. Para minimizar em relação a a e b calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero, obtendo as equações normais

Passo 3

As normais ficam:
sum xi^4 & sum xi^3 sum xi^3 & sum xi^2 ab= sum xi^2 fi sum xi fi

Passo 4

Calculamos as somas usando os dados:
sum xi^4=2.44140625, sum xi^3=-0.421875, sum xi^2=3.0625,
sum xi fi=-0.80875, sum xi^2 fi=4.9765625

Passo 5

Substituindo nas normais temos o sistema:
2.44140625 & -0.421875 -0.421875 & 3.0625 ab= 4.9765625-0.80875

Passo 6

Resolvendo por Cramer ou inversão de matriz, o determinante vale
D=2.44140625cdot3.0625-(-0.421875)^2=7.2970581055
Os numeradores para a e b são:
Na=4.9765625cdot3.0625-(-0.80875)(-0.421875)=14.9005839844,
Nb=2.44140625(-0.80875)-4.9765625(-0.421875)=0.1249951172

Passo 7

Logo
a=NaDapprox2.042, b=NbDapprox0.01714
Portanto encontramos os coeficientes da parábola ajustada.

Resposta

A parábola de ajuste é yapprox2.042,x^2+0.01714,x.

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