Usando o método dos mínimos quadrados aproxime a função f(x)=x^3-x^2 no intervalo [-1,1] por uma parábola.

Passo 1

O objetivo é aproximar a função f(x)=x^3 - x^2 no intervalo [-1,1] por uma parábola usando mínimos quadrados. Vamos precisar montar os sistemas de equações normais baseados na condição de ortogonalidade entre f - p e os monômios 1, x, x^2.

Passo 2

Assumimos a parábola aproximante na forma p(x)=a x^2 + b x + c. Pelo método dos mínimos quadrados, impomos que o resíduo f(x)-p(x) seja ortogonal a cada base x^k, ou seja
integral-1^1 (f(x)-p(x)),x^k ,dx = 0, k=0,1,2

Passo 3

Para k=0 temos
integral-1^1 f(x),dx = integral-1^1 p(x),dx Como integral-1^1 x^3 dx=0 e integral-1^1 x^2 dx=2/3,
integral-1^1 f(x),dx = 0 - 23 = -23 Do lado de p(x):
integral-1^1 p(x),dx = aintegral-1^1 x^2dx + bintegral-1^1 xdx + cintegral-1^1 dx = 2a3 + 0 + 2c Logo a primeira equação é
2a3 + 2c = -23

Passo 4

Para k=1 temos
integral-1^1 f(x)x,dx = integral-1^1 p(x)x,dx Calculamos integral-1^1 x^4 dx = 2/5 e integral-1^1 x^3 dx=0, então
integral-1^1 f(x)x,dx = 25 Do lado de p(x):
integral-1^1 p(x)x,dx = aintegral-1^1 x^3dx + bintegral-1^1 x^2dx + cintegral-1^1 xdx = 0 + 2b3 + 0 Isso dá
2b3 = 25 Rightarrow b = 35

Passo 5

Para k=2 temos
integral-1^1 f(x)x^2,dx = integral-1^1 p(x)x^2,dx Sabendo integral-1^1 x^5 dx=0 e integral-1^1 x^4 dx=2/5,
integral-1^1 f(x)x^2,dx = 0 - 25 = -25 Enquanto
integral-1^1 p(x)x^2,dx = a25 + bcdot0 + c23 = 2a5 + 2c3 Portanto
2a5 + 2c3 = -25

Passo 6

Agora resolvemos o sistema formado pelas equações
2a3 + 2c = -23, 2a5 + 2c3 = -25 Da primeira obtemos
a3 + c = -13Rightarrow c = -13 - a3 Substituindo na segunda:
2a5 + 23l(-13 - a3r) = -25, que leva a a=-1 e, então, c=0.

Passo 7

Logo a parábola de mínimos quadrados é
p(x) = -x^2 + 35x

Resposta

-x^2 + 35x

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