Em média, a área da superfície do corpo de uma pessoa está relacionada ao peso,
, e altura,
, dessa pessoa. Medidas efetuadas em indivíduos de altura igual a 1.80 m , mas com pesos diferentes, forneceram os seguintes valores para a área:
70
75
77
80
82
84
87
90
2.10
2.12
2.15
2.20
2.22
2.23
2.26
2.30
Ajuste os dados da tabela usando o modelo
, determine os parâmetros
e
e, a seguir, estime qual deve ser a área de uma pessoa de 95 kg .
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70 | 75 | 77 | 80 | 82 | 84 | 87 | 90 |
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2.10 | 2.12 | 2.15 | 2.20 | 2.22 | 2.23 | 2.26 | 2.30 |
Passo 1
O enunciado pede para ajustar os dados de área da superfície, A, em função do peso, W, pelo modelo de potência A = a W^b. O conteúdo envolvido é regressão linear aplicada ao modelo de potência, e vamos usar transformação logaritmica para tornar o ajuste linear em ln A versus ln W.
Passo 2
Transformamos o modelo A = a W^b em forma linear tomando logaritmo natural de ambos os lados. Assim, definimos:
Chamamos x_i = ln W_i e y_i = ln A_i.
Passo 3
Calculamos os valores de x_i e y_i para cada par (W_i,A_i) e obtivemos as somas necessárias para o método dos mínimos quadrados: Σx_i, Σy_i, Σx_i^2 e Σx_i y_i. Com n = 8 observações, encontramos aproximadamente:
Σx_i = 35.0951, Σy_i = 6.2935,
Σx_i^2 = 154.0040, Σx_i y_i = 27.6230.
Σx_i = 35.0951, Σy_i = 6.2935,
Σx_i^2 = 154.0040, Σx_i y_i = 27.6230.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do coeficiente angular b do ajuste linear:
Substituindo os valores, obtemos b ≈ 0.3108.
Passo 5
Com b conhecido, determinamos ln a pela média dos desvios:
Que dá ln a ≈ –0.5768, logo a = e^{–0.5768} ≈ 0.5615.
Passo 6
Finalmente, para estimar a área de uma pessoa de 95 kg usamos A = a W^b. Assim:
Resposta
a ≈ 0.5615, b ≈ 0.3108 e A(95 kg) ≈ 2.31 m²