Em média, a área da superfície do corpo de uma pessoa está relacionada ao peso, W, e altura, H, dessa pessoa. Medidas efetuadas em indivíduos de altura igual a 1.80 m , mas com pesos diferentes, forneceram os seguintes valores para a área:
c|cccccccc $W(kg)$ & 70 & 75 & 77 & 80 & 82 & 84 & 87 & 90 hline(A(m^2)) & 2.10 & 2.12 & 2.15 & 2.20 & 2.22 & 2.23 & 2.26 & 2.30 70 75 77 80 82 84 87 90
A=a W^b 2.10 2.12 2.15 2.20 2.22 2.23 2.26 2.30
Ajuste os dados da tabela usando o modelo a, determine os parâmetros b e e, a seguir, estime qual deve ser a área de uma pessoa de 95 kg .

Passo 1

O enunciado pede para ajustar os dados de área da superfície, A, em função do peso, W, pelo modelo de potência A = a W^b. O conteúdo envolvido é regressão linear aplicada ao modelo de potência, e vamos usar transformação logaritmica para tornar o ajuste linear em ln A versus ln W.

Passo 2

Transformamos o modelo A = a W^b em forma linear tomando logaritmo natural de ambos os lados. Assim, definimos:
ln A = ln a + b,ln W
Chamamos x_i = ln W_i e y_i = ln A_i.

Passo 3

Calculamos os valores de x_i e y_i para cada par (W_i,A_i) e obtivemos as somas necessárias para o método dos mínimos quadrados: Σx_i, Σy_i, Σx_i^2 e Σx_i y_i. Com n = 8 observações, encontramos aproximadamente:
Σx_i = 35.0951, Σy_i = 6.2935,
Σx_i^2 = 154.0040, Σx_i y_i = 27.6230.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do coeficiente angular b do ajuste linear:
b = n,Σ(xi yi) - (Σxi)(Σyi)n,Σ(xi^2) - (Σxi)^2
Substituindo os valores, obtemos b ≈ 0.3108.

Passo 5

Com b conhecido, determinamos ln a pela média dos desvios:
ln a = Σyi - b,Σxin
Que dá ln a ≈ –0.5768, logo a = e^{–0.5768} ≈ 0.5615.

Passo 6

Finalmente, para estimar a área de uma pessoa de 95 kg usamos A = a W^b. Assim:
A(95) = 0.5615 times 95^0.3108 approx 2.31 m^2

Resposta

a ≈ 0.5615, b ≈ 0.3108 e A(95 kg) ≈ 2.31 m²

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