(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar
? Justifique.
Passo 1
Resumo do enunciado: aqui querem saber se vale a pena usar interpolação polinomial para estimar o valor de
.
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial (Lagrange, Newton), diferença entre interpolação e extrapolação, comportamento de polinômios de alto grau (fenômeno de Runge).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial (Lagrange, Newton), diferença entre interpolação e extrapolação, comportamento de polinômios de alto grau (fenômeno de Runge).
O que vamos precisar:
- Saber onde estão nossos nós de interpolação (o intervalo de definição dos pontos usados).
- Entender que avaliar em
pode ser interpolação (se 5 estiver dentro desse intervalo) ou extrapolação (se estiver fora). - Conhecer a limitação de polinômios de alto grau para extrapolar.
Passo 2
O que é interpolação polinomial?
Dado um conjunto de pontos
, podemos construir um polinômio
de grau
que satisfaz
Dado um conjunto de
Os métodos clássicos são:
- Fórmula de Lagrange:
- Forma de Newton (mais prática para adicionar pontos).
Isso funciona bem dentro do intervalo dos nós, mas fora dele (extrapolação) a coisa tende a disparar e ficar péssima.
Passo 3
Interpolação vs Extrapolação
- Interpolação: estimar
para dentro do “pedaço” coberto pelos nós . - Extrapolação: estimar
para fora desse pedaço.
Se os nossos nós cobrem, digamos, de
até
, então
está fora – é extrapolação. Nesse caso, o erro de usar um polinômio pode crescer muito, porque:
- O termo de erro é
e para
fora do intervalo
o produto
fica grande.
2) Polinômios de grau alto têm o tal “fenômeno de Runge”: oscilações violentas nas bordas e fora do intervalo.
2) Polinômios de grau alto têm o tal “fenômeno de Runge”: oscilações violentas nas bordas e fora do intervalo.
Passo 4
Conclusão didática:
Como queremos e
está além dos nossos nós, usar interpolação polinomial de grau elevado não é adequado – o erro de extrapolação cresce demais. Em vez disso, a gente recomendaria:
Como queremos
- Uma interpolação por splines (polinômios de baixo grau em cada subintervalo), que controla melhor o erro.
- Ou outro método de modelagem/extrapolação (retas locais, ajustes racionais etc.).
Resposta
Não, não é adequado usar interpolação polinomial para estimar
, porque trata-se de extrapolação fora do intervalo dos nós e o erro cresce muito (fenômeno de Runge).