(e) Alguma forma de interpolação polinomial seria adequada para avaliar f(5) ? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: aqui querem saber se vale a pena usar interpolação polinomial para estimar o valor de .
Conteúdo da matéria: interpolação polinomial (Lagrange, Newton), diferença entre interpolação e extrapolação, comportamento de polinômios de alto grau (fenômeno de Runge).
O que vamos precisar:
  • Saber onde estão nossos nós de interpolação (o intervalo de definição dos pontos usados).
  • Entender que avaliar em pode ser interpolação (se 5 estiver dentro desse intervalo) ou extrapolação (se estiver fora).
  • Conhecer a limitação de polinômios de alto grau para extrapolar.

Passo 2

O que é interpolação polinomial?
Dado um conjunto de Pn(xi)=yi, i=0,1,dots,n pontos Pn(x)=sumi=0^n yi;elli(x), elli(x)=prodjneq ix-xjxi-xj , podemos construir um polinômio de grau que satisfaz
Os métodos clássicos são:
  • Fórmula de Lagrange:
  • Forma de Newton (mais prática para adicionar pontos).
Isso funciona bem dentro do intervalo dos nós, mas fora dele (extrapolação) a coisa tende a disparar e ficar péssima.

Passo 3

Interpolação vs Extrapolação
  • Interpolação: estimar Rn(x)=f(x)-Pn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!(x-x0)cdots(x-xn), para dentro do “pedaço” coberto pelos nós .
  • Extrapolação: estimar para fora desse pedaço.
Se os nossos nós cobrem, digamos, de até , então está fora – é extrapolação. Nesse caso, o erro de usar um polinômio pode crescer muito, porque:
  1. O termo de erro é
e para fora do intervalo o produto fica grande.
2) Polinômios de grau alto têm o tal “fenômeno de Runge”: oscilações violentas nas bordas e fora do intervalo.

Passo 4

Conclusão didática:
Como queremos e está além dos nossos nós, usar interpolação polinomial de grau elevado não é adequado – o erro de extrapolação cresce demais. Em vez disso, a gente recomendaria:
  • Uma interpolação por splines (polinômios de baixo grau em cada subintervalo), que controla melhor o erro.
  • Ou outro método de modelagem/extrapolação (retas locais, ajustes racionais etc.).

Resposta

Não, não é adequado usar interpolação polinomial para estimar , porque trata-se de extrapolação fora do intervalo dos nós e o erro cresce muito (fenômeno de Runge).

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