Considere os pontos:
x -3 -1 1 3 5
y 12,5 1,5 2,5 13,0 38,0
Considere o modelo de regressão u(x)=b x^2. Ache, pelo método dos quadrados mínimos, o valor ótimo de b. Calcule u(7).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar o parâmetro b do modelo de regressão
u(x)=b,x^2
que “melhor se ajusta” aos pontos dados, no sentido de mínimos quadrados.
Conteúdo: regressão linear (aqui linear em b) e método dos mínimos quadrados.
Vamos precisar:
  1. Escrever a soma dos erros quadráticos .
  2. Derivar em relação a b, igualar a zero e resolver.
  3. Calcular algumas somas dos dados para chegar em b.
  4. Usar b para avaliar .

Passo 2

Definindo o erro quadrático total:
S(b)=sumi=1^5 l(b,xi^2 - yir)^2
Para achar o dSdb=0 ótimo, a gente faz:
ddbsum (b,xi^2 - yi)^2 =2sum (b,xi^2 - yi),xi^2 =0
Expandindo:
sum (b,xi^2 - yi),xi^2 = 0
Isso dá a condição

Passo 3

Isolando b:
sum b,xi^4 ;-;sum yi,xi^2 = 0 Longrightarrow b,sum xi^4 = sum yi,xi^2 Longrightarrow b = sum yi,xi^2sum xi^4
Agora preenche com os dados:
x_i: –3, –1, 1, 3, 5
x_i^2: 9, 1, 1, 9, 25
x_i^4: 81, 1, 1, 81, 625
y_i·x_i^2:
12,5·9 = 112,5
1,5·1 = 1,5
2,5·1 = 2,5
13,0·9 = 117,0
38,0·25= 950,0
Somando:

Passo 4

Aí fica fácil:
b = 1183,5789 = 1,5

Passo 5

Agora basta calcular
u(7) = bcdot 7^2 = 1,5 times 49 = 73,5

Resposta

b ótimo = 1,5
u(7) = 73,5

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