Considere um conjunto de pares de pontos (xi, yi) obtidos experimentalmente. Busca-se obter uma relação semideteminística utilizando ajuste de curvas. Foram feitas 4 modelagens matemáticas, em que foram obtidos os seguintes valores mostrados na tabela abaixo. Qual modelo deve ser escolhido? Justifique sua resposta.
g b0 b1 b2 b3 b4 1-R^2 s^2
1 4,222 times 10^0 2,920 times 10^3 8,58 times 10^-4 3,65 times 10^-4
2 -6,513 times 10^1 6,034 times 10^3 1,034 times 10^1 9,86 times 10^-7 4,61 times 10^-7
3 -7,182 times 10^1 6,211 times 10^3 1,151 times 10^1 -1.940 times 10^-3 9,83 times 10^-7 5,11 times 10^-7
4 3,520 times 10^2 -1,963 times 10^3 -6,986 times 10^1 2,676 times 10^-1 -1,486 times 10^-4 9,72 times 10^-7 5,68 times 10^-7

Passo 1

Beleza, galera! A questão diz que a gente tem vários pares e fez quatro ajustes diferentes (modelos ). Cada modelo vem com os parâmetros , mais duas métricas de qualidade:
  • (quanto menor, melhor o ajuste)
  • (variância residual, também quanto menor, melhor)
O que precisamos aqui é escolher qual modelo “se encaixa” melhor nos dados, lembrando que modelos mais simples (menos termos) são preferíveis se tiverem qualidade de ajuste parecida. Para isso, vamos usar conceitos de coeficiente de determinação e variância dos resíduos .

Passo 2

Primeiro, vamos virar a chavinha do R^2 = 1 - (1 - R^2) pra achar o de cada modelo:
Então:
  • Modelo 1:
  • Modelo 2:
  • Modelo 3:
  • Modelo 4:
Percebeu? Todos estão mega próximos de 1, mas o 4 é ligeiramente o maior.

Passo 3

Agora, bora olhar a variância residual :
  • Modelo 1:
  • Modelo 2:
  • Modelo 3:
  • Modelo 4:
Quanto menor , menos “espalhamento” dos resíduos e ajuste mais certinho. O modelo 2 ganha aqui, ele tem a menor variância dos resíduos.

Passo 4

A regra de ouro: se dois modelos têm qualidade de ajuste quase igual, escolhe o mais simples (menor número de parâmetros).
  • Modelo 2 é um polinômio de 2º grau (tem ).
  • Modelo 4 é um polinômio de 4º grau (tem ).
Eles têm extremamente parecidos, mas o 2 é bem mais simples e ainda leva o troféu de menor .

Resposta

Escolhemos o modelo 2, pois ele apresenta excelente qualidade de ajuste (altíssimo ), a menor variância residual e ainda é mais simples que os modelos de grau maior.

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