Encontre a solução do sistema de equações abaixo utilizando o método da eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial,
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}+5 x_{4}=14 \\\\ 4 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=5 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}+2 x_{4}=1 \end{array}\right.
\bigcirc a. \quad X=\left[\begin{array}{llll}4,212 & 2,101 & 1,001 & -1,231\end{array}\right]^{t}
\bigcirc b. X=\left[\begin{array}{llll}1,178 & -0,663 & 2,914 & 0,395\end{array}\right]^{t}
\bigcirc c. X=\left[\begin{array}{llll}0,012 & -2,131 & 3,124 & 2,121\end{array}\right]^{t}
\bigcirc d. X=\left[\begin{array}{llll}2,286 & -1,075 & 3,821 & 0,476\end{array}\right]^{t}
\bigcirc e. X=\left[\begin{array}{llll}-0,236 & 0,777 & 1 & 1,459\end{array}\right]^{t}

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}+5x_{4}=14,\\[4pt] 4x_{1}-6x_{2}+x_{3}+x_{4}=12,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=5,\\[4pt] 4x_{1}-2x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=1. \end{cases}
O que se pede: encontrar o vetor X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{t} que satisfaz o sistema, usando o método da eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (ou seja, em cada coluna de pivô escolhemos, entre as linhas restantes, a que tem o maior valor absoluto na coluna).]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial [A|b]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 4 & 5 & 14\\[4pt] 4 & -6 & 1 & 1 & 12\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 4 & -2 & -2 & 2 & 1 \end{array}\right].
Regra do pivoteamento parcial (explicação didática): na coluna do pivô (começando pela coluna 1) olhamos apenas as linhas ainda não eliminadas e trocamos a linha atual pela linha que tem o maior valor absoluto nessa coluna. Isso reduz erro numérico e evita dividir por números pequenos. Para zerar abaixo do pivô usamos o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
e fazemos \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k.]

Passo 3

Pivô da coluna 1: entre os valores |2|,|4|,|2|,|4| o maior é 4 (linhas 2 e 4). Escolhemos a linha 2 como pivô e trocamos com a linha 1. Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & -6 & 1 & 1 & 12\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 5 & 14\\[4pt] 2 & 1 & 1 & 1 & 5\\[4pt] 4 & -2 & -2 & 2 & 1 \end{array}\right].
Agora zeramos as entradas abaixo do pivô (coluna 1).
  • Para R_{2}: m_{21}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Fazemos R_{2}\leftarrow R_{2}-\dfrac{1}{2}R_{1}.
    Cálculo elemento a elemento:
    \begin{aligned} &0,\\[2pt] &3-\tfrac{1}{2}(-6)=3+3=6,\\[2pt] &4-\tfrac{1}{2}\cdot1=4-\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2},\\[2pt] &5-\tfrac{1}{2}\cdot1=5-\tfrac{1}{2}=\tfrac{9}{2},\\[2pt] &14-\tfrac{1}{2}\cdot12=14-6=8. \end{aligned}
  • Para R_{3}: m_{31}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{1}{2}R_{1}:
    \begin{aligned} &0,\\[2pt] &1-\tfrac{1}{2}(-6)=1+3=4,\\[2pt] &1-\tfrac{1}{2}\cdot1=\tfrac{1}{2},\\[2pt] &1-\tfrac{1}{2}\cdot1=\tfrac{1}{2},\\[2pt] &5-\tfrac{1}{2}\cdot12=5-6=-1. \end{aligned}
  • Para R_{4}: m_{41}=\dfrac{4}{4}=1. R_{4}\leftarrow R_{4}-1\cdot R_{1}:
    \begin{aligned} &0,\\[2pt] &-2-(-6)=4,\\[2pt] &-2-1=-3,\\[2pt] &2-1=1,\\[2pt] &1-12=-11. \end{aligned}
A matriz após essas operações é
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & -6 & 1 & 1 & 12\\[4pt] 0 & 6 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{9}{2} & 8\\[4pt] 0 & 4 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -1\\[4pt] 0 & 4 & -3 & 1 & -11 \end{array}\right].]

Passo 4

Coluna 2 (segunda etapa): entre as entradas nas linhas 2–4 da coluna 2 temos |6|,|4|,|4|. O maior é 6 na linha 2, então não precisamos trocar linhas. Pivot em a_{22}=6.
Zeramos abaixo de a_{22}.
  • Para R_{3}: m_{32}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}. Fazemos R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{2}{3}R_{2}.
    Cálculos (cada entrada):
    \begin{aligned} &\text{col}_3:\\ \tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{7}{2}=\tfrac{1}{2}-\tfrac{7}{3}=\tfrac{3-14}{6}=-\tfrac{11}{6},\\[4pt] &\text{col}_4:\\ \tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{9}{2}=\tfrac{1}{2}-3=-\tfrac{5}{2},\\[4pt] &\text{RHS}:\\\ -1-\tfrac{2}{3}\cdot 8=-1-\tfrac{16}{3}=-\tfrac{19}{3}. \end{aligned}
  • Para R_{4}: m_{42}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}. Fazemos R_{4}\leftarrow R_{4}-\tfrac{2}{3}R_{2}.
    Cálculos:
    \begin{aligned} &\text{col}_3:\\\ -3-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{7}{2}=-3-\tfrac{7}{3}=-\tfrac{16}{3},\\[4pt] &\text{col}_4:\\\ 1-\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{9}{2}=1-3=-2,\\[4pt] &\text{RHS}:\\\ -11-\tfrac{2}{3}\cdot 8=-11-\tfrac{16}{3}=-\tfrac{49}{3}. \end{aligned}
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & -6 & 1 & 1 & 12\\[4pt] 0 & 6 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{9}{2} & 8\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{11}{6} & -\tfrac{5}{2} & -\tfrac{19}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{16}{3} & -2 & -\tfrac{49}{3} \end{array}\right].]

Passo 5

Coluna 3 (terceira etapa): entre as entradas nas linhas 3–4 da coluna 3 temos \left|-\tfrac{11}{6}\right| e \left|-\tfrac{16}{3}\right|. Em valor absoluto \tfrac{11}{6}\approx1,83 e \tfrac{16}{3}\approx5,33, logo o maior é \left|-\tfrac{16}{3}\right| (linha 4). Fazemos a troca R_{3}\leftrightarrow R_{4}.
Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & -6 & 1 & 1 & 12\\[4pt] 0 & 6 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{9}{2} & 8\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{16}{3} & -2 & -\tfrac{49}{3}\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{11}{6} & -\tfrac{5}{2} & -\tfrac{19}{3} \end{array}\right].
Agora zeramos abaixo do novo pivô a_{33}=-\tfrac{16}{3}.
  • Para R_{4}: m_{43}=\dfrac{-\tfrac{11}{6}}{-\tfrac{16}{3}}=\dfrac{-11/6}{-16/3}=\dfrac{11}{32}. Fazemos R_{4}\leftarrow R_{4}-\dfrac{11}{32}R_{3}.
Cálculos:
\begin{aligned} &\text{col}_4:\\\ -\tfrac{5}{2}-\dfrac{11}{32}(-2)=-\tfrac{5}{2}+\tfrac{22}{32}=-\tfrac{40}{16}+\tfrac{11}{16}=-\tfrac{29}{16},\\[6pt] &\text{RHS}:\\\ -\tfrac{19}{3}-\dfrac{11}{32}\left(-\tfrac{49}{3}\right) = \frac{-19}{3} + \frac{11\cdot49}{96} = \frac{-608+539}{96}=\!-\frac{69}{96}=-\frac{23}{32}. \end{aligned}
Assim obtemos a forma triangular superior
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & -6 & 1 & 1 & 12\\[4pt] 0 & 6 & \tfrac{7}{2} & \tfrac{9}{2} & 8\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{16}{3} & -2 & -\tfrac{49}{3}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -\tfrac{29}{16} & -\tfrac{23}{32} \end{array}\right].]

Passo 6

Agora fazemos a substituição regressiva (back-substitution). Para uma matriz triangular superior, começamos por x_{4} a partir da última equação:
-\tfrac{29}{16}\,x_{4}=-\tfrac{23}{32}.
Isolando x_{4}:
x_{4}=\dfrac{-\tfrac{23}{32}}{-\tfrac{29}{16}}=\dfrac{23}{32}\cdot\dfrac{16}{29}=\dfrac{23}{58}.

Passo 7

Próxima equação (linha 3):
-\tfrac{16}{3}\,x_{3}-2\,x_{4}=-\tfrac{49}{3}.
Reorganizando:
-\tfrac{16}{3}\,x_{3}=-\tfrac{49}{3}+2x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\dfrac{49-6x_{4}}{16}.
Substituindo x_{4}=\dfrac{23}{58}:
x_{3}=\dfrac{49-6\cdot\dfrac{23}{58}}{16}=\dfrac{49-\dfrac{138}{58}}{16}=\dfrac{\dfrac{2842-138}{58}}{16}=\dfrac{2704}{58\cdot16}=\dfrac{169}{58}.

Passo 8

Linha 2:
6\,x_{2}+\tfrac{7}{2}\,x_{3}+\tfrac{9}{2}\,x_{4}=8.
Multiplicando por 2 para evitar frações:
12\,x_{2}+7x_{3}+9x_{4}=16.
Isolando x_{2}:
12\,x_{2}=16-7x_{3}-9x_{4}.
Substituindo x_{3}=\dfrac{169}{58} e x_{4}=\dfrac{23}{58}:
12\,x_{2}=16-\dfrac{7\cdot169+9\cdot23}{58}=16-\dfrac{1183+207}{58}=16-\dfrac{1390}{58}.
Como 16=\dfrac{928}{58}, temos
12\,x_{2}=\dfrac{928-1390}{58}=-\dfrac{462}{58}=-\dfrac{231}{29},
logo
x_{2}=-\dfrac{231}{29\cdot 12}=-\dfrac{77}{116}.

Passo 9

Linha 1:
4x_{1}-6x_{2}+x_{3}+x_{4}=12.
Isolando x_{1}:
x_{1}=\dfrac{12+6x_{2}-x_{3}-x_{4}}{4}.
Substituindo x_{2}=-\dfrac{77}{116}, x_{3}=\dfrac{169}{58}, x_{4}=\dfrac{23}{58}:
\begin{aligned} 12+6x_{2}-x_{3}-x_{4}&=12+6\left(-\tfrac{77}{116}\right)-\tfrac{169}{58}-\tfrac{23}{58}\\[4pt] &=12-\tfrac{231}{58}-\tfrac{169}{58}-\tfrac{23}{58}=12-\tfrac{423}{58}=\dfrac{696-423}{58}=\dfrac{273}{58}. \end{aligned}
Então
x_{1}=\dfrac{\tfrac{273}{58}}{4}=\dfrac{273}{232}.
Os valores exatos obtidos são
x_{1}=\dfrac{273}{232},\qquad x_{2}=-\dfrac{77}{116},\qquad x_{3}=\dfrac{169}{58},\qquad x_{4}=\dfrac{23}{58}.
Como checagem numérica (arredondando a três casas decimais):
x_{1}\approx 1,178,\quad x_{2}\approx -0,663,\quad x_{3}\approx 2,914,\quad x_{4}\approx 0,395.]

Resposta

X=\left[\begin{array}{cccc}1,178 & -0,663 & 2,914 & 0,395\end{array}\right]^{t}

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