O que se pede: encontrar o vetor X=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{t} que satisfaz o sistema, usando o método da eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (ou seja, em cada coluna de pivô escolhemos, entre as linhas restantes, a que tem o maior valor absoluto na coluna).]
Regra do pivoteamento parcial (explicação didática): na coluna do pivô (começando pela coluna 1) olhamos apenas as linhas ainda não eliminadas e trocamos a linha atual pela linha que tem o maior valor absoluto nessa coluna. Isso reduz erro numérico e evita dividir por números pequenos. Para zerar abaixo do pivô usamos o multiplicador
m_{ik}=\frac{a_{ik}}{a_{kk}},
e fazemos \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k.]
Passo 3
Pivô da coluna 1: entre os valores |2|,|4|,|2|,|4| o maior é 4 (linhas 2 e 4). Escolhemos a linha 2 como pivô e trocamos com a linha 1. Após a troca:
Coluna 2 (segunda etapa): entre as entradas nas linhas 2–4 da coluna 2 temos |6|,|4|,|4|. O maior é 6 na linha 2, então não precisamos trocar linhas. Pivot em a_{22}=6.
Zeramos abaixo de a_{22}.
Para R_{3}: m_{32}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}. Fazemos R_{3}\leftarrow R_{3}-\tfrac{2}{3}R_{2}.
Cálculos (cada entrada):
Coluna 3 (terceira etapa): entre as entradas nas linhas 3–4 da coluna 3 temos \left|-\tfrac{11}{6}\right| e \left|-\tfrac{16}{3}\right|. Em valor absoluto \tfrac{11}{6}\approx1,83 e \tfrac{16}{3}\approx5,33, logo o maior é \left|-\tfrac{16}{3}\right| (linha 4). Fazemos a troca R_{3}\leftrightarrow R_{4}.