Use o método da bisecção para encontrar um zero da função
no intervalo
, com erro menor que 0,2 . Considere que a métrica do erro, é a métrica do intervalo.
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bissecção para encontrar um zero da função
no intervalo
, com erro menor que
. A métrica do erro é a métrica do intervalo (ou seja, o erro é o comprimento do intervalo que contém a raiz).
Informações dadas e condições iniciais:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância para o erro (comprimento do intervalo): queremos que
. - Valores nos extremos (já são dados pela função e serão úteis para verificar existência de raiz):
-
. -
, com , portanto .
-
- Observação importante: como
e , há mudança de sinal em e, pela propriedade do valor intermediário (teorema do valor intermediário), existe pelo menos uma raiz em .
Passo 2
Breve aula sobre o método da bissecção (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Ideia principal: se uma função contínua tem sinais opostos em
e (isto é, ), então existe pelo menos uma raiz em . O método da bissecção usa isso para reduzir o intervalo que contém a raiz, cortando o intervalo ao meio repetidamente. - Em cada iteração
define-se o ponto médio Avalia-se . Se encontramos a raiz exata; caso contrário: - Se
, a raiz está em , então escolhe-se , . - Se
, a raiz está em , então escolhe-se , .
- Se
- Propriedade do comprimento do intervalo: após
iterações, o comprimento do intervalo é Para garantir um erro menor que uma tolerância (aqui ), basta escolher tal que - Neste problema:
e , logo precisamos de com . Como e , conclui-se que são necessárias pelo menos iterações para obter .
Passo 3
Preparação para executar as iterações (fórmulas e precisão das avaliações).
- Fórmula do ponto médio que vamos usar em cada passo:
- Regra de escolha do subintervalo: manter o subintervalo onde a função muda de sinal.
- Nota sobre avaliações numéricas: vou usar aproximações decimais com 6 a 7 casas significativas para as funções trigonométricas e raízes quadradas — isso é suficiente para tomar as decisões de sinal necessárias nas primeiras iterações.
Passo 4
Iteração 1:
- Intervalo inicial:
. - Calcule o ponto médio:
- Avaliações:
Valores aproximados:
e
. Então
- Como
e , a mudança de sinal ocorre em . Portanto o novo intervalo que contém a raiz é - Comprimento do novo intervalo:
.
Passo 5
Iteração 2:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliações:
Valores aproximados: e . Então - Agora
(negativo) e (positivo), então a mudança de sinal está em . Assim escolhemos - Comprimento do intervalo:
.
Passo 6
Iteração 3:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliações:
Valores aproximados: e . Portanto - Sinais:
e , então a raiz está em . Portanto: - Comprimento do intervalo:
. - Observação:
, então a condição de parada (erro menor que ) foi atingida após 3 iterações, conforme previsto pela conta teórica.
Passo 7
Interpretação final e aproximação da raiz:
- Sabemos que existe pelo menos uma raiz em
e que qualquer ponto desse intervalo está a uma distância máxima (erro) de da raiz real, porque o comprimento do intervalo é . - Uma aproximação natural da raiz que costuma ser usada é o ponto médio do intervalo final:
- Se quisermos verificar o sinal em
: , ou seja, positivo — isso é compatível com o fato de que a raiz está entre (onde é negativo) e (onde já ficou positivo); de todo modo, a bissecção garante que a raiz está dentro do intervalo final independentemente do sinal exato em .
Resposta
O zero está contido no intervalo
.
Uma aproximação pelo método da bissecção é .
Uma aproximação pelo método da bissecção é