Use o método da bisecção para encontrar um zero da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{x}- \cos (x) no intervalo [0,1], com erro menor que 0,2 . Considere que a métrica do erro, é a métrica do intervalo.

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bissecção para encontrar um zero da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{x}-\cos(x) no intervalo [0,1], com erro menor que 0,2. A métrica do erro é a métrica do intervalo (ou seja, o erro é o comprimento do intervalo que contém a raiz).
Informações dadas e condições iniciais:
  • Função: \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{x}-\cos(x).
  • Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[0,1].
  • Tolerância para o erro (comprimento do intervalo): queremos que b_n-a_n<0,2.
  • Valores nos extremos (já são dados pela função e serão úteis para verificar existência de raiz):
    • \mathrm{f}(0)=\sqrt{0}-\cos(0)=0-1=-1.
    • \mathrm{f}(1)=\sqrt{1}-\cos(1)=1-\cos(1), com \cos(1)\approx 0,5403, portanto \mathrm{f}(1)\approx 0,4597.
  • Observação importante: como \mathrm{f}(0)<0 e \mathrm{f}(1)>0, há mudança de sinal em [0,1] e, pela propriedade do valor intermediário (teorema do valor intermediário), existe pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 2

Breve aula sobre o método da bissecção (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  • Ideia principal: se uma função contínua tem sinais opostos em a e b (isto é, \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em [a,b]. O método da bissecção usa isso para reduzir o intervalo que contém a raiz, cortando o intervalo ao meio repetidamente.
  • Em cada iteração k define-se o ponto médio m_k=\frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2}.Avalia-se \mathrm{f}(m_k). Se \mathrm{f}(m_k)=0 encontramos a raiz exata; caso contrário:
    • Se \mathrm{f}(a_{k-1})\cdot\mathrm{f}(m_k)<0, a raiz está em [a_{k-1},m_k], então escolhe-se a_k=a_{k-1}, b_k=m_k.
    • Se \mathrm{f}(m_k)\cdot\mathrm{f}(b_{k-1})<0, a raiz está em [m_k,b_{k-1}], então escolhe-se a_k=m_k, b_k=b_{k-1}.
  • Propriedade do comprimento do intervalo: após n iterações, o comprimento do intervalo é b_n-a_n=\frac{b_0-a_0}{2^n}.Para garantir um erro menor que uma tolerância \varepsilon (aqui \varepsilon=0,2), basta escolher n tal que \frac{b_0-a_0}{2^n}<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad 2^n>\frac{b_0-a_0}{\varepsilon}.
  • Neste problema: b_0-a_0=1 e \varepsilon=0,2, logo precisamos de n com 2^n>5. Como 2^2=4\le5 e 2^3=8>5, conclui-se que são necessárias pelo menos n=3 iterações para obter b_n-a_n<0,2.

Passo 3

Preparação para executar as iterações (fórmulas e precisão das avaliações).
  • Fórmula do ponto médio que vamos usar em cada passo: m=\frac{a+b}{2}.
  • Regra de escolha do subintervalo: manter o subintervalo onde a função muda de sinal.
  • Nota sobre avaliações numéricas: vou usar aproximações decimais com 6 a 7 casas significativas para as funções trigonométricas e raízes quadradas — isso é suficiente para tomar as decisões de sinal necessárias nas primeiras iterações.

Passo 4

Iteração 1:
  • Intervalo inicial: [a_0,b_0]=[0,1].
  • Calcule o ponto médio: m_1=\frac{0+1}{2}=0,5.
  • Avaliações: \mathrm{f}(0)= -1 \quad\text{(já calculado)}.á
\mathrm{f}(0,5)=\sqrt{0,5}-\cos(0,5).
Valores aproximados: \sqrt{0,5}\approx 0,7071068 e \cos(0,5)\approx 0,8775826. Então
\mathrm{f}(0,5)\approx 0,7071068-0,8775826=-0,1704758.
  • Como \mathrm{f}(0,5)<0 e \mathrm{f}(1)>0, a mudança de sinal ocorre em [0,5,\,1]. Portanto o novo intervalo que contém a raiz é [a_1,b_1]=[0,5,\,1].
  • Comprimento do novo intervalo: b_1-a_1=1-0,5=0,5.

Passo 5

Iteração 2:
  • Intervalo atual: [a_1,b_1]=[0,5,\,1].
  • Ponto médio: m_2=\frac{0,5+1}{2}=0,75.
  • Avaliações: \mathrm{f}(0,75)=\sqrt{0,75}-\cos(0,75).Valores aproximados: \sqrt{0,75}\approx 0,8660254 e \cos(0,75)\approx 0,7316889. Então \mathrm{f}(0,75)\approx 0,8660254-0,7316889=0,1343365.
  • Agora \mathrm{f}(0,5)\approx -0,1704758 (negativo) e \mathrm{f}(0,75)\approx 0,1343365 (positivo), então a mudança de sinal está em [0,5,\,0,75]. Assim escolhemos [a_2,b_2]=[0,5,\,0,75].
  • Comprimento do intervalo: b_2-a_2=0,75-0,5=0,25.

Passo 6

Iteração 3:
  • Intervalo atual: [a_2,b_2]=[0,5,\,0,75].
  • Ponto médio: m_3=\frac{0,5+0,75}{2}=0,625.
  • Avaliações: \mathrm{f}(0,625)=\sqrt{0,625}-\cos(0,625).Valores aproximados: \sqrt{0,625}\approx 0,7905694 e \cos(0,625)\approx 0,8109630. Portanto \mathrm{f}(0,625)\approx 0,7905694-0,8109630=-0,0203936.
  • Sinais: \mathrm{f}(0,625)<0 e \mathrm{f}(0,75)>0, então a raiz está em [0,625,\,0,75]. Portanto: [a_3,b_3]=[0,625,\,0,75].
  • Comprimento do intervalo: b_3-a_3=0,75-0,625=0,125.
  • Observação: 0,125<0,2, então a condição de parada (erro menor que 0,2) foi atingida após 3 iterações, conforme previsto pela conta teórica.

Passo 7

Interpretação final e aproximação da raiz:
  • Sabemos que existe pelo menos uma raiz em [0,625,\,0,75] e que qualquer ponto desse intervalo está a uma distância máxima (erro) de 0,125 da raiz real, porque o comprimento do intervalo é 0,125.
  • Uma aproximação natural da raiz que costuma ser usada é o ponto médio do intervalo final: x_{\text{aprox}}=\frac{0,625+0,75}{2}=0,6875.
  • Se quisermos verificar o sinal em x_{\text{aprox}}: \mathrm{f}(0,6875)=\sqrt{0,6875}-\cos(0,6875)\approx 0,8291562-\text{(algo ~ }0,7727)\approx 0,056, ou seja, positivo — isso é compatível com o fato de que a raiz está entre 0,625 (onde f é negativo) e 0,6875 (onde já ficou positivo); de todo modo, a bissecção garante que a raiz está dentro do intervalo final independentemente do sinal exato em x_{\text{aprox}}.

Resposta

O zero está contido no intervalo [0,625,\,0,75].
Uma aproximação pelo método da bissecção é x\approx 0,6875.

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