Seja a seguinte tabela referente à uma função f :
x -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
f(x) 0.67 0.82 1.00 1.22 1.49
Calcule f(0.1) por interpolação linear de Lagrange.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f(0,1) por interpolação linear de Lagrange usando a tabela fornecida. Da tabela temos os pontos (peguei estes números do enunciado):
  • x=-0,4,\; f(x)=0,67
  • x=-0,2,\; f(x)=0,82
  • x=0,\; f(x)=1,00
  • x=0,2,\; f(x)=1,22
  • x=0,4,\; f(x)=1,49
A pergunta específica: calcular f(0,1) por interpolação linear de Lagrange.

Passo 2

Escolher os dois nós a usar na interpolação linear. Para interpolação linear em x=0,1 escolhe-se os dois pontos da tabela que mais diretamente cercam x=0,1. Os dois nós relevantes são:
x_0 = 0,\quad f(x_0)=1,00, \qquad x_1 = 0,2,\quad f(x_1)=1,22,
porque 0 \le 0,1 \le 0,2. Usar pontos mais próximos garante melhor aproximação linear local e é o procedimento padrão em prova.

Passo 3

Escrever a fórmula de interpolação linear de Lagrange e explicar as peças.
A interpolação linear com os nós x_0 e x_1 é
L(x)=f(x_0)\,\ell_0(x)+f(x_1)\,\ell_1(x),
onde as bases de Lagrange lineares são
\ell_0(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1},\qquad \ell_1(x)=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}.
Explicação: \ell_0(x) e \ell_1(x) são pesos que valem 1 no seu nó respectivo e 0 no outro nó. Assim L(x) é a combinação linear dos valores f(x_0) e f(x_1) com pesos que somam 1 e variam linearmente com x. Para x entre x_0 e x_1 isso é equivalente a calcular o ponto na reta que passa por (x_0,f(x_0)) e (x_1,f(x_1)).

Passo 4

Avaliar as bases em x=0,1.
Calcular \ell_0(0,1):
\ell_0(0,1)=\frac{0,1-0,2}{0-0,2}=\frac{-0,1}{-0,2}=0,5.
Calcular \ell_1(0,1):
\ell_1(0,1)=\frac{0,1-0}{0,2-0}=\frac{0,1}{0,2}=0,5.
Observação: os dois pesos deram 0,5 porque 0,1 está exatamente no ponto médio entre 0 e 0,2.

Passo 5

Calcular L(0,1) usando os pesos e os valores de f.
L(0,1)=f(x_0)\ell_0(0,1)+f(x_1)\ell_1(0,1) =1,00\cdot0,5+1,22\cdot0,5.
Fazendo as contas:
1,00\cdot0,5=0,50,\qquad 1,22\cdot0,5=0,61,
portanto
L(0,1)=0,50+0,61=1,11.
Comentário didático curto: em palavras, como 0,1 é o ponto médio entre 0 e 0,2, o valor interpolado é a média aritmética de 1,00 e 1,22, que é 1,11. A fórmula alternativa equivalente (reta entre os pontos) seria
L(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0),
que conduz ao mesmo resultado.

Resposta

f(0,1)=1,11

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