Seja a seguinte tabela referente à uma função
:
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.67
0.82
1.00
1.22
1.49
Calcule
por interpolação linear de Lagrange.
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-0.4 | -0.2 | 0 | 0.2 | 0.4 |
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0.67 | 0.82 | 1.00 | 1.22 | 1.49 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular
por interpolação linear de Lagrange usando a tabela fornecida. Da tabela temos os pontos (peguei estes números do enunciado):
A pergunta específica: calcular
por interpolação linear de Lagrange.
Passo 2
Escolher os dois nós a usar na interpolação linear. Para interpolação linear em
escolhe-se os dois pontos da tabela que mais diretamente cercam
. Os dois nós relevantes são:
porque
. Usar pontos mais próximos garante melhor aproximação linear local e é o procedimento padrão em prova.
Passo 3
Escrever a fórmula de interpolação linear de Lagrange e explicar as peças.
A interpolação linear com os nós e
é
A interpolação linear com os nós
onde as bases de Lagrange lineares são
Explicação:
e
são pesos que valem
no seu nó respectivo e
no outro nó. Assim
é a combinação linear dos valores
e
com pesos que somam
e variam linearmente com
. Para
entre
e
isso é equivalente a calcular o ponto na reta que passa por
e
.
Passo 4
Avaliar as bases em
.
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Observação: os dois pesos deram
porque
está exatamente no ponto médio entre
e
.
Passo 5
Calcular
usando os pesos e os valores de
.
Fazendo as contas:
portanto
Comentário didático curto: em palavras, como
é o ponto médio entre
e
, o valor interpolado é a média aritmética de
e
, que é
. A fórmula alternativa equivalente (reta entre os pontos) seria
que conduz ao mesmo resultado.