Considere a equação f(x)=x \ln (x)+x^{2}-1=0.
a) Sem o uso de ferramentas gráficas ou computacionais, encontre um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz. Justifique sua resposta.
b) Usando a aproximação f\left(x_{k}\right) para a raiz \xi e a tolerância \varepsilon=10^{-2}, quantas iterações são necessárias para garantir que a amplitude do intervalo seja menor que \varepsilon ?
c) Aplique o Método da Bisseção e determine a raiz aproximada após 4 iterações.

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
f(x)=x\ln(x)+x^{2}-1=0.
Perguntas:
  1. (a) Sem ferramentas, encontre um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz e justifique.
  2. (b) Usando o método da bisseção e a tolerância \varepsilon=10^{-2}, quantas iterações são necessárias para garantir que a amplitude do intervalo seja menor que \varepsilon?
  3. (c) Aplique o método da bisseção e determine a raiz aproximada após 4 iterações.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função tem domínio x>0 porque aparece \ln(x).
  • A tolerância solicitada é \varepsilon=10^{-2}.
  • Vamos precisar de valores de f em pontos do domínio para aplicar o Teorema do Valor Intermediário e o método da bisseção.
  • Não usar ferramentas gráficas; só cálculo e argumentos teóricos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: justificar que existe pelo menos uma raiz num intervalo de comprimento 1.
A ideia é usar o Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua num intervalo [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe \xi\in(a,b) tal que f(\xi)=0.
Vou mostrar que f é contínua em todo (0,\infty).
  • A função x\mapsto \ln(x) é contínua em (0,\infty).
  • Produtos e somas de funções contínuas são contínuos.
    Logo f(x)=x\ln(x)+x^{2}-1 é contínua em (0,\infty).
Escolho o intervalo de comprimento 1
\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right],
porque é simples e está dentro do domínio (0,\infty). Agora calculo os valores de f nas extremidades para procurar mudança de sinal.

Passo 3

Cálculo de f nas extremidades do intervalo \left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].
Calcular f\left(\frac{1}{2}\right):
f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1.
Recordando \ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2, obtemos
f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\ln 2+\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}\ln 2-\frac{3}{4}.
Usando \ln 2\approx 0,6931 (apenas para avaliar o sinal),
f\left(\frac{1}{2}\right)\approx -0,3466-0,75\approx -1,0966<0.
Calcular f\left(\frac{3}{2}\right):
f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-1=\frac{3}{2}\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)+\frac{9}{4}-1.
Como \frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}=1,25 e \ln\!\left(\frac{3}{2}\right)\approx 0,4055,
f\left(\frac{3}{2}\right)\approx \frac{3}{2}\cdot 0,4055 +1,25 \approx 0,6083+1,25\approx 1,8583>0.
Conclusão deste passo: f\left(\frac{1}{2}\right)<0 e f\left(\frac{3}{2}\right)>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz \xi em \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right). Esse intervalo tem comprimento
\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1,
portanto satisfaz o pedido da parte (a).
Observação adicional (útil na prova): de fato f(1)=1\ln 1+1-1=0, isto é, x=1 é raiz exata. Mesmo sem observar isso, a mudança de sinal já garante existência de raiz.

Passo 4

Agora a parte (b): quantas iterações do método da bisseção são necessárias para que a amplitude do intervalo seja menor que \varepsilon=10^{-2}, partindo de um intervalo inicial de comprimento L_0=1?
Lembrando a propriedade do método da bisseção: se o intervalo inicial tem comprimento L_0=b-a, após n iterações o comprimento do intervalo é
L_n=\frac{L_0}{2^{n}}.
Queremos L_n<\varepsilon, isto é
\frac{L_0}{2^{n}}<\varepsilon.
Isolando n,
2^{n}>\frac{L_0}{\varepsilon}.
Tomando logaritmo base 2,
n>\log_{2}\!\left(\frac{L_0}{\varepsilon}\right).
No nosso caso L_0=1 e \varepsilon=10^{-2}, então
n>\log_{2}(100)=\log_{2}(10^{2})=2\log_{2}(10).
Para um valor numérico, usamos \log_{2}(100)=\frac{\ln 100}{\ln 2}. Sabendo \ln 100=\ln(10^{2})=2\ln 10\approx 2\cdot 2,3026=4,6052 e \ln 2\approx 0,6931, obtemos
\log_{2}(100)\approx\frac{4,6052}{0,6931}\approx 6,6438.
Assim n>6,6438. Como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a amplitude seja menor que \varepsilon, tomamos o menor inteiro n maior que esse valor, isto é n=7. Portanto são necessárias 7 iterações.

Passo 5

Parte (c): aplicar o método da bisseção e determinar a raiz aproximada após 4 iterações, partindo do intervalo escolhido \left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right].
Vou executar as iterações passo a passo. Lembre-se do procedimento: em cada iteração tomamos o ponto médio m=(a+b)/2, avaliamos f(m). Se f(m)=0 paramos (encontramos a raiz). Se f(m) tem mesmo sinal que f(a), substituímos a por m; caso contrário substituímos b por m. Isso reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração.
Iteração 0 (inicial):
a_0=\frac{1}{2},\qquad b_0=\frac{3}{2},\qquad L_0=1.
Calculamos o ponto médio:
m_1=\frac{a_0+b_0}{2}=\frac{1/2+3/2}{2}=1.
Avaliar f em m_1:
f(1)=1\ln 1+1^{2}-1=0+1-1=0.
Surpresa boa: f(m_1)=0. Quando o ponto médio dá f(m)=0, o método da bisseção encontrou exatamente a raiz e podemos parar imediatamente. Portanto, desde a primeira iteração encontramos a raiz exata \xi=1.
Se por algum motivo quiséssemos executar as iterações restantes (mas não é necessário, pois já temos a raiz exata), a cada iteração subsequente o ponto médio permaneceria igual a 1 porque qualquer intervalo que contenha a raiz 1 e que seja simétrico em torno de 1 terá 1 como ponto médio em alguma etapa; de qualquer forma, a aproximação após 1, 2, 3 ou 4 iterações continua sendo 1 (já exata).

Passo 6

Resumo da didática e dicas rápidas para prova (curtas e amigáveis):
  • Sempre verifique domínio antes de escolher intervalos porque \ln(x) exige x>0.
  • Para garantir existência de raiz use o Teorema do Valor Intermediário: mostre continuidade e mudança de sinal.
  • Para bisseção: erro (amplitude) após n iterações é \dfrac{b-a}{2^{n}}. Resolva \dfrac{b-a}{2^{n}}<\varepsilon para n.
  • Se ao avaliar o ponto médio m você obtiver f(m)=0, você achou a raiz exata e pode parar — é o melhor cenário (como aqui).

Resposta

\displaystyle \left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]
7
\xi=1

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