Considere a equação
.
a) Sem o uso de ferramentas gráficas ou computacionais, encontre um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz. Justifique sua resposta.
b) Usando a aproximação
para a raiz
e a tolerância
, quantas iterações são necessárias para garantir que a amplitude do intervalo seja menor que
?
c) Aplique o Método da Bisseção e determine a raiz aproximada após 4 iterações.
a) Sem o uso de ferramentas gráficas ou computacionais, encontre um intervalo de comprimento 1 que contenha uma raiz. Justifique sua resposta.
b) Usando a aproximação
c) Aplique o Método da Bisseção e determine a raiz aproximada após 4 iterações.
Passo 1
Enunciado e o que se pede:
Perguntas:
- (a) Sem ferramentas, encontre um intervalo de comprimento
que contenha uma raiz e justifique. - (b) Usando o método da bisseção e a tolerância
, quantas iterações são necessárias para garantir que a amplitude do intervalo seja menor que ? - (c) Aplique o método da bisseção e determine a raiz aproximada após
iterações.
Informações dadas e observações importantes:
- A função tem domínio
porque aparece . - A tolerância solicitada é
. - Vamos precisar de valores de
em pontos do domínio para aplicar o Teorema do Valor Intermediário e o método da bisseção. - Não usar ferramentas gráficas; só cálculo e argumentos teóricos.
Passo 2
Primeiro passo técnico: justificar que existe pelo menos uma raiz num intervalo de comprimento
.
A ideia é usar o Teorema do Valor Intermediário: se é contínua num intervalo
e
, então existe
tal que
.
A ideia é usar o Teorema do Valor Intermediário: se
Vou mostrar que
é contínua em todo
.
- A função
é contínua em . - Produtos e somas de funções contínuas são contínuos.
Logoé contínua em .
Escolho o intervalo de comprimento
porque é simples e está dentro do domínio
. Agora calculo os valores de
nas extremidades para procurar mudança de sinal.
Passo 3
Cálculo de
nas extremidades do intervalo
.
Calcular
:
Recordando
, obtemos
Usando
(apenas para avaliar o sinal),
Calcular
:
Como
e
,
Conclusão deste passo:
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
em
. Esse intervalo tem comprimento
portanto satisfaz o pedido da parte (a).
Observação adicional (útil na prova): de fato
, isto é,
é raiz exata. Mesmo sem observar isso, a mudança de sinal já garante existência de raiz.
Passo 4
Agora a parte (b): quantas iterações do método da bisseção são necessárias para que a amplitude do intervalo seja menor que
, partindo de um intervalo inicial de comprimento
?
Lembrando a propriedade do método da bisseção: se o intervalo inicial tem comprimento
, após
iterações o comprimento do intervalo é
Queremos
, isto é
Isolando
,
Tomando logaritmo base
,
No nosso caso
e
, então
Para um valor numérico, usamos
. Sabendo
e
, obtemos
Assim
. Como
deve ser inteiro e precisamos garantir que a amplitude seja menor que
, tomamos o menor inteiro
maior que esse valor, isto é
. Portanto são necessárias
iterações.
Passo 5
Parte (c): aplicar o método da bisseção e determinar a raiz aproximada após
iterações, partindo do intervalo escolhido
.
Vou executar as iterações passo a passo. Lembre-se do procedimento: em cada iteração tomamos o ponto médio
, avaliamos
. Se
paramos (encontramos a raiz). Se
tem mesmo sinal que
, substituímos
por
; caso contrário substituímos
por
. Isso reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração.
Iteração 0 (inicial):
Calculamos o ponto médio:
Avaliar
em
:
Surpresa boa:
. Quando o ponto médio dá
, o método da bisseção encontrou exatamente a raiz e podemos parar imediatamente. Portanto, desde a primeira iteração encontramos a raiz exata
.
Se por algum motivo quiséssemos executar as iterações restantes (mas não é necessário, pois já temos a raiz exata), a cada iteração subsequente o ponto médio permaneceria igual a
porque qualquer intervalo que contenha a raiz
e que seja simétrico em torno de
terá
como ponto médio em alguma etapa; de qualquer forma, a aproximação após 1, 2, 3 ou 4 iterações continua sendo
(já exata).
Passo 6
Resumo da didática e dicas rápidas para prova (curtas e amigáveis):
- Sempre verifique domínio antes de escolher intervalos porque
exige . - Para garantir existência de raiz use o Teorema do Valor Intermediário: mostre continuidade e mudança de sinal.
- Para bisseção: erro (amplitude) após
iterações é . Resolva para . - Se ao avaliar o ponto médio
você obtiver , você achou a raiz exata e pode parar — é o melhor cenário (como aqui).