Considere a função
. Uma raiz foi isolada no intervalo
.
a) Execute três iterações do Método da Bisseção e preencha a tabela abaixo:
0
2.0
3.0
1
2
b) Qual seria a aproximação da raiz se o processo fosse interrompido pelo critério de distância entre aproximações,
?
a) Execute três iterações do Método da Bisseção e preencha a tabela abaixo:
|
|
|
|
|
|
|
| 0 | 2.0 | 3.0 | |||
| 1 | |||||
| 2 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Executar três iterações do Método da Bisseção para a função
com a raiz isolada no intervalo e preencher a tabela com as colunas . - (b) Determinar a aproximação da raiz caso o processo fosse interrompido pelo critério de distância entre aproximações com
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Intervalo inicial
. - Preciso realizar três iterações do método da bisseção e aplicar o critério
com para (b).
Passo 2
Breve explicação do Método da Bisseção (para você entender e aplicar passo a passo):
- A ideia: se
é contínua em e e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em . - Em cada iteração calculamos o ponto médio
- Avaliamos
. Se terminamos (achamos a raiz). Caso contrário, mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal: ou se , ou se . - O comprimento do intervalo é reduzido pela metade a cada iteração:
. - Critério de parada pedido em (b): parar quando
.
Passo 3
Verificação inicial dos sinais nas extremidades (isso nos garante que a bisseção é aplicável):
Portanto
e
, há mudança de sinal em
e podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
Iteração
: calcular
e
, e o tamanho do intervalo.
- Ponto médio:
- Avaliação:
Como
e
, a raiz está no subintervalo
. Logo os próximos
e
são:
- Comprimento do intervalo inicial:
Passo 5
Iteração
: calcular
e
, e o novo tamanho do intervalo.
- Ponto médio:
- Avaliação:
Como
e
, a raiz está em
. Assim:
- Comprimento do intervalo:
Passo 6
Iteração
: calcular
e
, e o novo tamanho do intervalo.
- Ponto médio:
- Avaliação:
Como
e
, a raiz está em
. Assim:
- Comprimento do intervalo:
Passo 7
Aplicação do critério de parada pedido em (b): queremos parar quando
com
.
- Calculemos as diferenças entre aproximações:
Como
, o critério é satisfeito já após a segunda iteração (i.e. ao obter
). Portanto a aproximação final se interrompêssemos nesse critério seria
.
Resposta
k=0:
,
,
,
,
k=1: ,
,
,
,
k=2: ,
,
,
,
Aproximação com critério :
k=1:
k=2:
Aproximação com critério