Considere a função f(x)=x^{3}-2 x-5. Uma raiz foi isolada no intervalo [2,3].
a) Execute três iterações do Método da Bisseção e preencha a tabela abaixo:
k a_{k} b_{k} x_{k+1} f\left(x_{k+1}\right) b_{k}-a_{k}
0 2.0 3.0
1
2
b) Qual seria a aproximação da raiz se o processo fosse interrompido pelo critério de distância entre aproximações, \operatorname{com} \varepsilon=0.5 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Executar três iterações do Método da Bisseção para a função f(x)=x^{3}-2x-5 com a raiz isolada no intervalo [2,3] e preencher a tabela com as colunas k,\;a_k,\;b_k,\;x_{k+1},\;f(x_{k+1}),\;b_k-a_k.
  • (b) Determinar a aproximação da raiz caso o processo fosse interrompido pelo critério de distância entre aproximações com \varepsilon=0,5.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x^{3}-2x-5.
  • Intervalo inicial [a_0,b_0]=[2,3].
  • Preciso realizar três iterações do método da bisseção e aplicar o critério |x_{k+1}-x_k|<\varepsilon com \varepsilon=0,5 para (b).

Passo 2

Breve explicação do Método da Bisseção (para você entender e aplicar passo a passo):
  • A ideia: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (a,b).
  • Em cada iteração calculamos o ponto médio
x_{k+1}=\frac{a_k+b_k}{2}.
  • Avaliamos f(x_{k+1}). Se f(x_{k+1})=0 terminamos (achamos a raiz). Caso contrário, mantemos o subintervalo onde há mudança de sinal: ou [a_k,x_{k+1}] se f(a_k)\cdot f(x_{k+1})<0, ou [x_{k+1},b_k] se f(x_{k+1})\cdot f(b_k)<0.
  • O comprimento do intervalo é reduzido pela metade a cada iteração: b_{k+1}-a_{k+1}=\dfrac{b_k-a_k}{2}.
  • Critério de parada pedido em (b): parar quando |x_{k+1}-x_k|<\varepsilon.

Passo 3

Verificação inicial dos sinais nas extremidades (isso nos garante que a bisseção é aplicável):
f(2)=2^{3}-2\cdot2-5=8-4-5=-1,
f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=27-6-5=16.
Portanto f(2)=-1<0 e f(3)=16>0, há mudança de sinal em [2,3] e podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

Iteração k=0: calcular x_{1} e f(x_{1}), e o tamanho do intervalo.
  • Ponto médio:
x_{1}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2}=\frac{2+3}{2}=2,5.
  • Avaliação:
f(2,5)=2{,}5^{3}-2\cdot2{,}5-5=15{,}625-5-5=5{,}625.
Como f(2)=-1 e f(2,5)=5{,}625>0, a raiz está no subintervalo [2,2,5]. Logo os próximos a e b são:
a_1=2,\qquad b_1=2,5.
  • Comprimento do intervalo inicial:
b_0-a_0=3-2=1,0.

Passo 5

Iteração k=1: calcular x_{2} e f(x_{2}), e o novo tamanho do intervalo.
  • Ponto médio:
x_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}=\frac{2+2{,}5}{2}=2{,}25.
  • Avaliação:
f(2{,}25)=2{,}25^{3}-2\cdot2{,}25-5=11{,}390625-4{,}5-5=1{,}890625.
Como f(2)= -1 e f(2{,}25)=1{,}890625>0, a raiz está em [2,2{,}25]. Assim:
a_2=2,\qquad b_2=2{,}25.
  • Comprimento do intervalo:
b_1-a_1=2{,}5-2=0{,}5.

Passo 6

Iteração k=2: calcular x_{3} e f(x_{3}), e o novo tamanho do intervalo.
  • Ponto médio:
x_{3}=\frac{a_{2}+b_{2}}{2}=\frac{2+2{,}25}{2}=2{,}125.
  • Avaliação:
f(2{,}125)=2{,}125^{3}-2\cdot2{,}125-5=9{,}595703125-4{,}25-5=0{,}345703125.
Como f(2)= -1 e f(2{,}125)=0{,}345703125>0, a raiz está em [2,2{,}125]. Assim:
a_3=2,\qquad b_3=2{,}125.
  • Comprimento do intervalo:
b_2-a_2=2{,}25-2=0{,}25.

Passo 7

Aplicação do critério de parada pedido em (b): queremos parar quando |x_{k+1}-x_k|<\varepsilon com \varepsilon=0,5.
  • Calculemos as diferenças entre aproximações:
|x_2-x_1|=|2{,}25-2{,}5|=0{,}25.
Como 0{,}25<0{,}5, o critério é satisfeito já após a segunda iteração (i.e. ao obter x_2). Portanto a aproximação final se interrompêssemos nesse critério seria x_2=2{,}25.

Resposta

k=0: a_0=2, b_0=3, x_1=2{,}5, f(x_1)=5{,}625, b_0-a_0=1{,}0
k=1: a_1=2, b_1=2{,}5, x_2=2{,}25, f(x_2)=1{,}890625, b_1-a_1=0{,}5
k=2: a_2=2, b_2=2{,}25, x_3=2{,}125, f(x_3)=0{,}345703125, b_2-a_2=0{,}25
Aproximação com critério |x_{k+1}-x_k|<0{,}5: 2{,}25

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