Analise o sistema linear A x=b, de ordem 3, quanto ao mal condicionamento, onde A é a matriz de Hilbert cujos elementos são dados por:
ai j=1i+j-1, i, j=1,2,3

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear Ax=b com A sendo a matriz de Hilbert de ordem 3, cujos elementos são aij=1/(i+j-1). O objetivo é analisar o condicionamento do sistema, ou seja, calcular o número de condição kappa(A)=|A|,|A^-1| e verificar se é grande (mal condicionado).

Passo 2

Definimos a norma escolhida e o número de condição. Para simplicidade, usamos a norma 1 (e como A é simétrica também vale para a norma infty). O número de condição em norma 1 é
kappa1(A)=|A|1,|A^-1|1

Passo 3

Primeiro montamos A explicitamente:
A= 1 & tfrac12 & tfrac13 tfrac12 & tfrac13 & tfrac14 tfrac13 & tfrac14 & tfrac15

Passo 4

Calculamos |A|1, que é o máximo das somas absolutas das colunas:
coluna 1: 1+tfrac12+tfrac13=1,8333,
coluna 2: tfrac12+tfrac13+tfrac14=1,0833,
coluna 3: tfrac13+tfrac14+tfrac15=0,7833.
Logo
|A|1=1,8333

Passo 5

Usamos a forma conhecida da inversa da Hilbert 3×3:
A^-1= 9 & -36 & 30 -36 & 192 & -180 30 & -180 & 180

Passo 6

Calculamos |A^-1|1, de novo a maior soma das colunas:
coluna 1: 9+36+30=75,
coluna 2: 36+192+180=408,
coluna 3: 30+180+180=390.
Portanto
|A^-1|1=408

Passo 7

Agora o número de condição é
kappa1(A)=|A|1,|A^-1|1=1,8333times 408approx 748
Esse valor é bem grande, indicando que pequenas variações em b ou erros de arredondamento provocam grandes erros na solução x, ou seja, o sistema é mal condicionado.

Resposta

O número de condição da matriz de Hilbert 3×3 na norma 1 é aproximadamente 748, mostrando que o sistema é muito mal condicionado.

Exercícios relacionados