Analise o sistema linear , de ordem 3, quanto ao mal condicionamento, onde é a matriz de Hilbert cujos elementos são dados por:
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear com sendo a matriz de Hilbert de ordem 3, cujos elementos são . O objetivo é analisar o condicionamento do sistema, ou seja, calcular o número de condição e verificar se é grande (mal condicionado).
Passo 2
Definimos a norma escolhida e o número de condição. Para simplicidade, usamos a norma 1 (e como é simétrica também vale para a norma ). O número de condição em norma 1 é
Passo 3
Primeiro montamos explicitamente:
Passo 4
Calculamos |A|1, que é o máximo das somas absolutas das colunas:
coluna 1: 1+tfrac12+tfrac13=1,8333,
coluna 2: tfrac12+tfrac13+tfrac14=1,0833,
coluna 3: tfrac13+tfrac14+tfrac15=0,7833.
Logo
|A|1=1,8333
Passo 5
Usamos a forma conhecida da inversa da Hilbert 3×3:
Calculamos |A^-1|1, de novo a maior soma das colunas:
coluna 1: 9+36+30=75,
coluna 2: 36+192+180=408,
coluna 3: 30+180+180=390.
Portanto
|A^-1|1=408
Passo 7
Agora o número de condição é
kappa1(A)=|A|1,|A^-1|1=1,8333times 408approx 748
Esse valor é bem grande, indicando que pequenas variações em b ou erros de arredondamento provocam grandes erros na solução x, ou seja, o sistema é mal condicionado.
Resposta
O número de condição da matriz de Hilbert 3×3 na norma 1 é aproximadamente 748, mostrando que o sistema é muito mal condicionado.