Resolva, no intervalo x=0 a x=2, o problema de valor inicial
d yd x=y x^2-1.1 y, y(0)=1
a) analiticamente;
b) usando o Método de Euler com h=0.5 e h=0.25;
c) usando o Método de Heun (sem iteração no corretor) com h=0.5;
d) usando o Método de Runge-Kutta de ordem 4 com h=0.5;
Determine os erros relativos em todos os casos e em todos os passos, em relação à solução analítica.

Passo 1

O exercício pede para resolver o PVI
dydx=y,x^2-1.1,y, y(0)=1
no intervalo de 0 a 2 por métodos analítico, de Euler (h=0.5 e h=0.25), Heun (h=0.5) e RK4 (h=0.5), e calcular os erros relativos em cada nó em relação à solução exata.

Passo 2

Primeiro resolvemos analiticamente. É uma EDO linear separável:
1y,dy=(x^2-1.1),dx
Integrando,
ln|y|=x^33-1.1x+C
e pela condição inicial y(0)=1 temos C=0. Logo a solução exata é
y(x)=expl(tfracx^33-1.1xr)

Passo 3

Calculamos os valores exatos em x=0,0.5,1,1.5,2:
x=0: y=1.000000
x=0.5: y=\exp(-0.50833)=0.60100
x=1.0: y=\exp(-0.76667)=0.46470
x=1.5: y=\exp(-0.52500)=0.59260
x=2.0: y=\exp(0.46667)=1.59400

Passo 4

Aplicamos o Método de Euler com h=0.5 no mesmo conjunto de nós:
Passo a passo:
y₀=1.00000
f(0,y₀)=−1.1 → y₁=1+0.5·(−1.1)=0.45000
f(0.5,y₁)=0.45·(0.25−1.1)=−0.3825 → y₂=0.45+0.5·(−0.3825)=0.25875
f(1,y₂)=0.25875·(1−1.1)=−0.025875 → y₃=0.25875+0.5·(−0.025875)=0.2458125
f(1.5,y₃)=0.2458125·(2.25−1.1)=0.2836844 → y₄=0.2458125+0.5·0.2836844=0.3876547
Erros relativos:
|y₁−y(0.5)|/y(0.5)=|0.45−0.60100|/0.60100=25.1%
|y₂−y(1.0)|/0.46470=44.4%
|y₃−y(1.5)|/0.59260=58.5%
|y₄−y(2.0)|/1.59400=75.7%

Passo 5

Aplicamos o Método de Euler com h=0.25 nos nós x=0,0.25,…,2.0:
y₀=1.00000
f(0,y₀)=−1.1 → y₁=1−0.275=0.72500
f(0.25,y₁)=0.725·(0.0625−1.1)=−0.75219 → y₂=0.725−0.18805=0.53695
f(0.5,y₂)=−0.45641 → y₃=0.5370−0.11410=0.42285
f(0.75,y₃)=−0.22735 → y₄=0.42285−0.05684=0.36601
f(1.0,y₄)=−0.03660 → y₅=0.36601−0.00915=0.35686
f(1.25,y₅)=0.16543 → y₆=0.35686+0.04136=0.39822
f(1.5,y₆)=0.45795 → y₇=0.39822+0.11449=0.51271
f(1.75,y₇)=1.0062 → y₈=0.51271+0.25155=0.76426
Erros relativos em cada nó:
0.25→5.07% 0.50→10.7% 0.75→16.2% 1.00→21.3% 1.25→26.4% 1.50→32.8% 1.75→41.2% 2.00→52.1%

Passo 6

Usamos o Método de Heun (predictor-corrector sem iteração) com h=0.5:
y₀=1
predict y*=1+0.5·(−1.1)=0.45
y₁=1+0.25[−1.1+(−0.3825)]=0.62938
predict y*=0.62938+0.5·(−0.53476)=0.36199 → y₂=0.62938+0.25[−0.53476+(−0.03620)]=0.48663
predict y*=0.48663+0.5·(−0.04866)=0.46230 → y₃=0.48663+0.25[−0.04866+0.53165]=0.60738
predict y*=0.60738+0.5·0.53165=0.95662 → y₄=0.60738+0.25[0.53165+2.77322]=1.43360
Erros relativos:
0.5→4.72% 1.0→4.72% 1.5→2.49% 2.0→10.06%

Passo 7

Aplicamos Runge–Kutta de ordem 4 com h=0.5:
Passo 0→0.5: y₁=0.60162 (erro 0.10%)
0.5→1.0: y₂=0.46459 (erro 0.02%)
1.0→1.5: y₃=0.58327 (erro 1.57%)
1.5→2.0: y₄=1.56312 (erro 1.94%)

Passo 8

Concluímos que:
– Euler h=0.5 apresenta erros crescentes até ~75.7% em x=2.0.
– Euler h=0.25 reduz esses erros mas chega a ~52.1% em x=2.0.
– Heun (h=0.5) tem erro máximo ~10.06% em x=2.0.
– RK4 (h=0.5) dá erro máximo ~1.94% em x=2.0.

Resposta

Solução analítica:
y(x)=expl(tfracx^33-1.1xr)
Valores exatos e aproximações (com erros relativos) nos nós x=0,0.5,1.0,1.5,2.0:
– Euler h=0.5: y≈{1.000,0.450,0.259,0.246,0.388}, erros={0,25.1%,44.4%,58.5%,75.7%}
– Euler h=0.25: y≈{1.000,0.725,0.537,0.423,0.366,0.357,0.398,0.513,0.764}, erros={0,5.07%,10.7%,16.2%,21.3%,26.4%,32.8%,41.2%,52.1%}
– Heun h=0.5: y≈{1.000,0.6294,0.4866,0.6074,1.4336}, erros={0,4.72%,4.72%,2.49%,10.06%}
– RK4 h=0.5: y≈{1.000,0.6016,0.4646,0.5833,1.5631}, erros={0,0.10%,0.02%,1.57%,1.94%}

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