Compare as soluções dos sistemas lineares abaixo:
r l x 1 + 2 x 2 & = 1 0 0 0 1 x 1 + 2 x 2 & = 3 0 0 0 1 e rl x1+2 x2 & = 0.9999 x1+2 x2 & =3.0001
O que acontece e por quê?

Passo 1

A ideia é comparar dois sistemas 2×2 quase idênticos e ver como pequenas perturbações nos coeficientes afetam muito a solução — é um exemplo de sistema mal condicionado. Vamos usar substituição (ou Cramer) pra achar cada solução e depois discutir o determinante.

Passo 2

Primeiro sistema:
Temos
x1 + 2x2 = 1, 1.0001,x1 + 2x2 = 3.0001
Da primeira equação vem x1 = 1 - 2x2. Substituindo na segunda:
1.0001(1 - 2x2) + 2x2 = 3.0001
Simplificando:
1.0001 - 2.0002x2 + 2x2 = 3.0001
1.0001 - 0.0002x2 = 3.0001
-0.0002x2 = 2
x2 = -10000,
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x1 = 1 - 2(-10000) = 20001

Passo 3

Segundo sistema:
Temos
x1 + 2x2 = 1, 0.9999,x1 + 2x2 = 3.0001
De novo x1 = 1 - 2x2. Substituindo:
0.9999(1 - 2x2) + 2x2 = 3.0001
0.9999 - 1.9998x2 + 2x2 = 3.0001
0.9999 + 0.0002x2 = 3.0001
0.0002x2 = 2.0002
x2 = 10001,
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x1 = 1 - 2(10001) = -20001

Passo 4

Comparando as soluções vemos que, com uma mudança de apenas 0.0002 na entrada da matriz, os valores de x1 e x2 explodem para ordens de 10^4 com sinais opostos. Isso ocorre porque o determinante de cada sistema é
det = 1cdot2 - 2cdot1.0001 = -0.0002 e det = 1cdot2 - 2cdot0.9999 = 0.0002,
ou seja, bem próximo de zero: as retas são quase paralelas. Sistemas com determinante perto de zero são muito sensíveis (mal condicionados), de modo que pequenas variações nos coeficientes causam grandes variações na solução.

Resposta

As soluções são drasticamente diferentes — cerca de (20001, −10000) num caso e (−20001, 10001) no outro — porque o determinante é muito pequeno (linhas quase paralelas), tornando o sistema mal condicionado: pequenas perturbações nos coeficientes geram grandes mudanças na solução.

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