Compare as soluções dos sistemas lineares abaixo:
O que acontece e por quê?
Passo 1
A ideia é comparar dois sistemas 2×2 quase idênticos e ver como pequenas perturbações nos coeficientes afetam muito a solução — é um exemplo de sistema mal condicionado. Vamos usar substituição (ou Cramer) pra achar cada solução e depois discutir o determinante.
Passo 2
Primeiro sistema:
Temos
Temos
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Simplificando:
logo
Passo 3
Segundo sistema:
Temos
Temos
De novo
. Substituindo:
logo
Passo 4
Comparando as soluções vemos que, com uma mudança de apenas
na entrada da matriz, os valores de
e
explodem para ordens de
com sinais opostos. Isso ocorre porque o determinante de cada sistema é
ou seja, bem próximo de zero: as retas são quase paralelas. Sistemas com determinante perto de zero são muito sensíveis (mal condicionados), de modo que pequenas variações nos coeficientes causam grandes variações na solução.
Resposta
As soluções são drasticamente diferentes — cerca de (20001, −10000) num caso e (−20001, 10001) no outro — porque o determinante é muito pequeno (linhas quase paralelas), tornando o sistema mal condicionado: pequenas perturbações nos coeficientes geram grandes mudanças na solução.