Seja barx uma aproximação para a solução do sistema A x=b, A uma matriz não singular e r o vetor resíduo para barx. Mostre que, para qualquer norma de vetor e matriz consistentes,
|x-barx| <=|r||A^-1| e |x-barx||x| <=|A||A^-1| |r||b| , para x neq 0 e b neq 0

Passo 1

O enunciado trata de sistemas lineares Ax=b com matriz A inversível, de uma aproximação barx da solução exata x e do vetor resíduo r=b-Abarx. Queremos usar normas consistentes para ligar o erro x-barx ao resíduo e ao número de condição de A.

Passo 2

Como passo inicial, note que
x-barx=A^-1b - A^-1(Abarx)=A^-1(b-Abarx)=A^-1r

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade submultiplicativa da norma consistente (ou seja, |MN|<=|M|,|N|) ao vetor anterior:
|x-barx|=|A^-1r|<=|A^-1|,|r|, o que prova a primeira desigualdade.

Passo 4

Para obter a desigualdade relativa, começamos dividindo a primeira por |x|:
|x-barx||x|<=|A^-1||r||x|

Passo 5

Em seguida usamos b=Ax e a submultiplicatividade para afirmar
|b|=|Ax|<=|A|,|x|Longrightarrow|x|>=|b||A|

Passo 6

Substituindo essa estimativa na desigualdade acima dá
|x-barx||x|<=|A^-1||r||x|<=|A^-1||r||b|/|A|=|A|,|A^-1||r||b|, o que é exatamente a segunda desigualdade desejada.

Resposta

|x-barx|<=|A^-1|,|r|,|x-barx||x|<=|A|,|A^-1||r||b|

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