Seja uma aproximação para a solução do sistema uma matriz não singular e o vetor resíduo para . Mostre que, para qualquer norma de vetor e matriz consistentes,
Passo 1
O enunciado trata de sistemas lineares Ax=b com matriz A inversível, de uma aproximação barx da solução exata x e do vetor resíduo r=b-Abarx. Queremos usar normas consistentes para ligar o erro x-barx ao resíduo e ao número de condição de A.
Passo 2
Como passo inicial, note que
x-barx=A^-1b - A^-1(Abarx)=A^-1(b-Abarx)=A^-1r
Passo 3
Agora aplicamos a propriedade submultiplicativa da norma consistente (ou seja, |MN|<=|M|,|N|) ao vetor anterior:
|x-barx|=|A^-1r|<=|A^-1|,|r|, o que prova a primeira desigualdade.
Passo 4
Para obter a desigualdade relativa, começamos dividindo a primeira por |x|:
|x-barx||x|<=|A^-1||r||x|
Passo 5
Em seguida usamos b=Ax e a submultiplicatividade para afirmar
|b|=|Ax|<=|A|,|x|Longrightarrow|x|>=|b||A|
Passo 6
Substituindo essa estimativa na desigualdade acima dá
|x-barx||x|<=|A^-1||r||x|<=|A^-1||r||b|/|A|=|A|,|A^-1||r||b|, o que é exatamente a segunda desigualdade desejada.