Seja a seguinte tabela de pontos:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
5
4
1
-1
0,5
2,5
5,5
2,0
1,0
Obter o polinômio de grau 4 e estimar o valor de
pelos seguintes métodos.
Escolha o conjunto de pontos adequados.
a) por um sistema linear
b) por Lagrange
c) por Newton, construindo a tabela de diferenças divididas e calculando o limitante superior para o erro cometido.
d) por Newton-Gregory, construindo a tabela de diferenças divididas e calculando o limitante superior para o erro cometido.
e) Comparar os polinômios obtidos nos quatro itens anteriores.
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
4 | 1 | -1 | 0,5 | 2,5 | 5,5 | 2,0 | 1,0 |
Escolha o conjunto de pontos adequados.
a) por um sistema linear
b) por Lagrange
c) por Newton, construindo a tabela de diferenças divididas e calculando o limitante superior para o erro cometido.
d) por Newton-Gregory, construindo a tabela de diferenças divididas e calculando o limitante superior para o erro cometido.
e) Comparar os polinômios obtidos nos quatro itens anteriores.
Passo 1
O enunciado pede para interpolar os pontos dados por um polinômio de grau 4 e estimar f(0.5) pelos métodos (a) sistema linear, (b) Lagrange, © Newton com diferenças divididas e (d) Newton–Gregory com diferenças finitas. Vamos escolher um conjunto de 5 pontos próximos de x=0.5 e aplicar cada técnica.
Passo 2
Escolhemos os 5 pontos mais próximos de 0.5: x₀=−1, x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, com f(−1)=1, f(0)=−1, f(1)=0.5, f(2)=2.5, f(3)=5.5. Esses mesmos pontos servem para todos os métodos.
Passo 3
Método (a) sistema linear: montamos a matriz de Vandermonde V_{ij}=x_i^{4−j} e resolvemos V·a=f para os coeficientes a=[a₄,a₃,a₂,a₁,a₀]ᵀ. A solução é
P(x)=
e, ao avaliar em x=0.5, obtém-se P(0.5)≈−0.41796875.
P(x)=
e, ao avaliar em x=0.5, obtém-se P(0.5)≈−0.41796875.
Passo 4
Método (b) Lagrange: construímos as bases
para i=0,…,4 e definimos P(x)=∑_{i=0}^4 f(x_i)ℓ_i(x). Após simplificar, recupera-se o mesmo polinômio e P(0.5)≈−0.41796875.
Passo 5
Método © Newton (diferenças divididas): tabela de diferenças divididas: f[x₀]=1, f[x₀,x₁]=−2, f[x₀,x₁,x₂]=1.75, f[x₀,…,x₃]=−0.5, f[x₀,…,x₄]=0.1458333. A forma de Newton
P(x)=1−2(x+1)+1.75(x+1)x−0.5(x+1)x(x−1)+0.1458333(x+1)x(x−1)(x−2)
expande-se para o mesmo P(x) do item (a). Avaliando em x=0.5 dá P(0.5)≈−0.41796875. O erro de interpolação satisfaz
P(x)=1−2(x+1)+1.75(x+1)x−0.5(x+1)x(x−1)+0.1458333(x+1)x(x−1)(x−2)
expande-se para o mesmo P(x) do item (a). Avaliando em x=0.5 dá P(0.5)≈−0.41796875. O erro de interpolação satisfaz
e para x=0.5 vale
Passo 6
Método (d) Newton–Gregory (diferenças finitas): com espaçamento h=1 definimos s=(x+1)/1. Construímos Δf, Δ²f, Δ³f, Δ⁴f em x₀: Δf₀=−2, Δ²f₀=3.5, Δ³f₀=−3, Δ⁴f₀=3.5. O polinômio em s é
P(s)=1+s(−2)+\frac{s(s-1)}{2!}3.5+\frac{s(s-1)(s-2)}{3!}(−3)+\frac{s(s-1)(s-2)(s-3)}{4!}3.5.
Ao voltar para x e avaliar em 0.5 (s=1.5) obtém-se de novo P(0.5)≈−0.41796875. O limite de erro também é M·0.01171875.
P(s)=1+s(−2)+\frac{s(s-1)}{2!}3.5+\frac{s(s-1)(s-2)}{3!}(−3)+\frac{s(s-1)(s-2)(s-3)}{4!}3.5.
Ao voltar para x e avaliar em 0.5 (s=1.5) obtém-se de novo P(0.5)≈−0.41796875. O limite de erro também é M·0.01171875.
Passo 7
Comparação: todos os métodos produzem exatamente o mesmo polinômio de grau 4 e a mesma estimativa P(0.5)≈−0.41796875, como garante a unicidade do polinômio interpolador de grau 4 nos 5 pontos.
Resposta
O polinômio interpolador de grau 4 é
e a estimativa é