Seja a seguinte tabela de pontos:
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline $f(x)$ & 4 & 1 & -1 & 0,5 & 2,5 & 5,5 & 2,0 & 1,0 hline 4 1 -1 0,5 2,5 5,5 2,0 1,0
Obter o polinômio de grau 4 e estimar o valor de f(0,5) pelos seguintes métodos.
Escolha o conjunto de pontos adequados.
a) por um sistema linear
b) por Lagrange
c) por Newton, construindo a tabela de diferenças divididas e calculando o limitante superior para o erro cometido.
d) por Newton-Gregory, construindo a tabela de diferenças divididas e calculando o limitante superior para o erro cometido.
e) Comparar os polinômios obtidos nos quatro itens anteriores.

Passo 1

O enunciado pede para interpolar os pontos dados por um polinômio de grau 4 e estimar f(0.5) pelos métodos (a) sistema linear, (b) Lagrange, © Newton com diferenças divididas e (d) Newton–Gregory com diferenças finitas. Vamos escolher um conjunto de 5 pontos próximos de x=0.5 e aplicar cada técnica.

Passo 2

Escolhemos os 5 pontos mais próximos de 0.5: x₀=−1, x₁=0, x₂=1, x₃=2, x₄=3, com f(−1)=1, f(0)=−1, f(1)=0.5, f(2)=2.5, f(3)=5.5. Esses mesmos pontos servem para todos os métodos.

Passo 3

Método (a) sistema linear: montamos a matriz de Vandermonde V_{ij}=x_i^{4−j} e resolvemos V·a=f para os coeficientes a=[a₄,a₃,a₂,a₁,a₀]ᵀ. A solução é
P(x)= 748x^4-1924x^3+7748x^2+1324x-1
e, ao avaliar em x=0.5, obtém-se P(0.5)≈−0.41796875.

Passo 4

Método (b) Lagrange: construímos as bases ℓi(x)=prodj≠ix-xjxi-xj para i=0,…,4 e definimos P(x)=∑_{i=0}^4 f(x_i)ℓ_i(x). Após simplificar, recupera-se o mesmo polinômio e P(0.5)≈−0.41796875.

Passo 5

Método © Newton (diferenças divididas): tabela de diferenças divididas: f[x₀]=1, f[x₀,x₁]=−2, f[x₀,x₁,x₂]=1.75, f[x₀,…,x₃]=−0.5, f[x₀,…,x₄]=0.1458333. A forma de Newton
P(x)=1−2(x+1)+1.75(x+1)x−0.5(x+1)x(x−1)+0.1458333(x+1)x(x−1)(x−2)
expande-se para o mesmo P(x) do item (a). Avaliando em x=0.5 dá P(0.5)≈−0.41796875. O erro de interpolação satisfaz
R4(x)=f^(5)(xi)5!(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3),
e para x=0.5 vale
|R4(0.5)|<=M120,|1.5·0.5·(−0.5)·(−1.5)·(−2.5)|=Mcdot0.01171875

Passo 6

Método (d) Newton–Gregory (diferenças finitas): com espaçamento h=1 definimos s=(x+1)/1. Construímos Δf, Δ²f, Δ³f, Δ⁴f em x₀: Δf₀=−2, Δ²f₀=3.5, Δ³f₀=−3, Δ⁴f₀=3.5. O polinômio em s é
P(s)=1+s(−2)+\frac{s(s-1)}{2!}3.5+\frac{s(s-1)(s-2)}{3!}(−3)+\frac{s(s-1)(s-2)(s-3)}{4!}3.5.
Ao voltar para x e avaliar em 0.5 (s=1.5) obtém-se de novo P(0.5)≈−0.41796875. O limite de erro também é M·0.01171875.

Passo 7

Comparação: todos os métodos produzem exatamente o mesmo polinômio de grau 4 e a mesma estimativa P(0.5)≈−0.41796875, como garante a unicidade do polinômio interpolador de grau 4 nos 5 pontos.

Resposta

O polinômio interpolador de grau 4 é
P(x)=748x^4-1924x^3+7748x^2+1324x-1
e a estimativa é
f(0.5)approx-0.41796875

Exercícios relacionados