Ex3. Determine a raiz real da função f(x)=e^{-x}-x usando o método da Falsa Posição no intervalo entre
[0,1]. Considere como critério de parada o erro menor ou igual a 0,001 .

Passo 1

O enunciado pede a raiz real de f(x)=e^{-x}-x no intervalo [0,1] usando o método da Falsa Posição, com critério de parada quando o erro entre aproximações consecutivas for \le0{,}001. Vamos usar interpolação linear para estimar sucessivamente o ponto onde a reta que liga (a,f(a)) a (b,f(b)) corta o eixo x.

Passo 2

Verificamos o sinal da função nas extremidades do intervalo:
f(0)=e^{0}-0=1>0,
f(1)=e^{-1}-1\approx0{,}3679-1=-0{,}6321<0.
Como f(0)\cdot f(1)<0, há raiz em [0,1]. Inicializamos a_1=0, b_1=1.

Passo 3

Primeira iteração k=1:
A fórmula da Falsa Posição é
x_1 = b_1 - f(b_1)\,\frac{b_1 - a_1}{f(b_1)-f(a_1)}.
Substituindo
x_1 = 1 - (-0{,}6321)\,\frac{1-0}{-0{,}6321-1} =0{,}6129.
Calculamos
f(x_1)=e^{-0{,}6129}-0{,}6129\approx0{,}5415-0{,}6129=-0{,}0714.
Como f(0)\cdot f(x_1)=1\cdot(-0{,}0714)<0, a raiz está em [0,x_1]. Atualizamos b_2=x_1=0{,}6129.

Passo 4

Segunda iteração k=2:
x_2 = b_2 - f(b_2)\,\frac{b_2 - a_2}{f(b_2)-f(a_2)} =0{,}6129 - (-0{,}0714)\,\frac{0{,}6129-0}{-0{,}0714-1} =0{,}5720.
Calculamos
f(x_2)=e^{-0{,}5720}-0{,}5720\approx0{,}5645-0{,}5720=-0{,}0075.
Como f(0)\cdot f(x_2)<0, mantemos a_3=0, b_3=x_2=0{,}5720.

Passo 5

Terceira iteração k=3:
x_3 = b_3 - f(b_3)\,\frac{b_3 - a_3}{f(b_3)-f(a_3)} =0{,}5720 - (-0{,}0075)\,\frac{0{,}5720-0}{-0{,}0075-1} =0{,}5677.
f(x_3)=e^{-0{,}5677}-0{,}5677\approx0{,}5666-0{,}5677=-0{,}0011.
Erro aproximado |x_3-x_2|=|0{,}5677-0{,}5720|=0{,}0043>0{,}001, continua.

Passo 6

Quarta iteração k=4:
x_4 = b_4 - f(b_4)\,\frac{b_4 - a_4}{f(b_4)-f(a_4)} =0{,}5677 - (-0{,}0011)\,\frac{0{,}5677-0}{-0{,}0011-1} =0{,}5671.
f(x_4)=e^{-0{,}5671}-0{,}5671\approx0{,}5672-0{,}5671=0{,}0001.
O erro entre iterações é
|x_4-x_3|=|0{,}5671-0{,}5677|=0{,}0006\le0{,}001,
logo atingimos o critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx0{,}5671.

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