(B.1) A funçao f(x)=2 e^{-2.4 x} pode ser usada para gerar a seguinte tabela:
x 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
f(x) 2 1,855 1,721 1,597 1,481 1,374 1,275
Utilize os pontos da tabela para calcular a integral numérica I=\int_{0}^{0.3} f(x) d x. Considere o método de integração que se adeque melhor ao intervalo dos dados e resulte no menor erro. Escolha entre Regra do Trapézio ou a Primeira ou Segunda Regra de Simpson simples ou compostas. Use precisão de 3 casas decimais em suas contas.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=2\mathrm{e}^{-2.4x}
e seus valores numa malha uniforme de x de 0 a 0.3. Pede-se aproximar
I = \int_{0}^{0.3} f(x)\,\mathrm{d}x
por um método de integração numérica.

Passo 2

Como os pontos estão igualmente espaçados de 0{,}05, definimos
h = 0{,}05, \quad n = \frac{0{,}3 - 0}{0{,}05} = 6
(subintervalos, número par).

Passo 3

Entre as regras de Newton–Cotes disponíveis, a regra de Simpson 1/3 composta exige n par e tem erro O(h^4), sendo, portanto, a mais precisa para este caso.

Passo 4

A fórmula da regra de Simpson 1/3 composta é
I \approx \frac{h}{3}\Bigl[f_0 + f_n + 4\sum_{\substack{i=1\i\;\mathrm{ímpar}}}^{n-1} f_i \;+\; 2\sum_{\substack{i=2\i\;\mathrm{par}}}^{n-2} f_i\Bigr].

Passo 5

Da tabela, temos \;f_0=2,\;f_1=1{,}855,\;f_2=1{,}721,\;f_3=1{,}597,\;f_4=1{,}481,\;f_5=1{,}374,\;f_6=1{,}275.
Então
\sum_{i\;\mathrm{ímpar}}f_i = f_1+f_3+f_5 = 1{,}855 + 1{,}597 + 1{,}374 = 4{,}826,í
\sum_{i\;\mathrm{par},\,i\neq0,6}f_i = f_2+f_4 = 1{,}721 + 1{,}481 = 3{,}202.

Passo 6

Substituindo na fórmula:
I \approx \frac{0{,}05}{3}\Bigl(2 + 1{,}275 + 4\cdot4{,}826 + 2\cdot3{,}202\Bigr) = \frac{0{,}05}{3}\times28{,}983.

Passo 7

Fazendo contas em três casas decimais:
\frac{28{,}983}{3} = 9{,}661, \quad I \approx 9{,}661 \times 0{,}05 = 0{,}48305 \approx 0{,}483.

Resposta

I \approx 0{,}483

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