4 Uma aplicação de \ 78.000,00 gerou um montante de$110.211,96 numa certa data. Sendo de2,5 %$ ao mês a taxa de juros considerada, calcular o prazo da aplicação.

Passo 1

O enunciado dá um capital inicial de C = 78\,000, um montante final de M = 110\,211{,}96 e uma taxa de juros compostos de i = 2{,}5\% ao mês. Queremos achar o prazo n em meses.

Passo 2

Para juros compostos usamos a fórmula do montante
M = C\,(1 + i)^{n}.

Passo 3

Isolando o prazo n, aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(M) = \ln\bigl(C\,(1+i)^{n}\bigr) \quad\Rightarrow\quad \ln(M) = \ln\text{(C)} + n\,\ln(1+i)
\text{logo}\quad n = \frac{\ln(M) - \ln\text{(C)}}{\ln(1+i)} = \frac{\ln\bigl(\tfrac{M}{C}\bigr)}{\ln(1+i)}.

Passo 4

Calculando os valores numéricos:
\frac{M}{C} = \frac{110\,211{,}96}{78\,000} \approx 1{,}41323,
\ln\bigl(1{,}41323\bigr) \approx 0{,}3450, \quad \ln\bigl(1 + 0{,}025\bigr) = \ln(1{,}025) \approx 0{,}02469.
n \approx \frac{0{,}3450}{0{,}02469} \approx 13{,}97.
Arredondando, o prazo é de aproximadamente 14 meses.

Resposta

O prazo da aplicação é de aproximadamente 14 meses.

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