APLICAÇÃO: Determinação do Fator de Atrito pela Equação de Colebrook-White A equação de Colebrook-White é amplamente empregada para determinar o fator de atrito de Darcy-Weisbach em escoamentos turbulentos em condutos circulares, considerando simultaneamente o efeito da rugosidade relativa e do número de Reynolds. Sua forma implícita é dada por:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2 \log _{10}\left(\frac{\varepsilon / D}{3,7}+\frac{2,51}{\operatorname{Re} \sqrt{f}}\right)
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional);
  • \varepsilon é a rugosidade absoluta da parede do tubo (m);
  • D é o diâmetro interno do tubo (m);
  • Re é o número de Reynolds (adimensional).
Considere os seguintes dados:
\operatorname{Re}=4000, \quad D=2,0 \mathrm{~m}, \quad \varepsilon=0,003 \mathrm{~m} .
A rugosidade relativa é, portanto,
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0,003}{2,0}=0,0015
Como a equação é implícita em f, emprega-se o método da bisseção ou Newton para determinar o valor que satisfaz a igualdade. Define-se a função:
g(f)=\frac{1}{\sqrt{f}}+2 \log _{10}\left(\frac{0,0015}{3,7}+\frac{2,51}{4000 \sqrt{f}}\right)
e busca-se a raiz de g(f)=0 no intervalo inicial f \in[0,01,0,08]. [ f \approx 0,0414.]

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita de Colebrook-White e pede o valor do fator de atrito f que satisfaz a igualdade. Dados e informações extraídas do enunciado:
\operatorname{Re}=4000,\qquad D=2,0\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon=0,003\\ \mathrm{m},
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0,003}{2,0}=0,0015.
Define-se a função cuja raiz procuramos:
g(f)=\frac{1}{\sqrt{f}}+2\log_{10}\!\left(\frac{0,0015}{3,7}+\frac{2,51}{4000\sqrt{f}}\right).
Intervalo inicial fornecido pelo enunciado:
f\in[\,0,01,\;0,08\,].
Objetivo: encontrar f tal que g(f)=0 (isto é, determinar o fator de atrito de modo numérico).

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método da bisseção. Por quê? Porque:
  • A equação é implícita e não temos uma expressão simples para f, então buscamos uma raiz de g(f).
  • O enunciado já deu um intervalo [0,01,0,08] com mudança de sinal (verificável), o que favorece bisseção.
  • Bisseção é robusto (não precisa da derivada) e fácil de aplicar passo a passo na prova.
    Vou parar quando a largura do intervalo for menor que 10^{-4} (ou seja, erro típico \leq 5\times10^{-5}), o que nos dará pelo menos 4 casas decimais confiáveis em f.

Passo 3

Preparação de constantes e expressão conveniente. Defino:
A=\frac{0,0015}{3,7}\approx 0,0004054054054, \qquad B=\frac{2,51}{4000}=0,0006275.
Então
g(f)=\frac{1}{\sqrt{f}}+2\log_{10}\!\Bigl(A+\frac{B}{\sqrt{f}}\Bigr).
Para cada f que testarmos, os passos computacionais serão:
  1. calcular \sqrt{f}, 2) calcular \dfrac{1}{\sqrt{f}}, 3) calcular A+\dfrac{B}{\sqrt{f}}, 4) calcular \log_{10} desse valor, 5) multiplicar por 2 e somar ao \dfrac{1}{\sqrt{f}} para obter g(f).
    Vou mostrar cada iteração com esses valores essenciais, sempre observando o sinal de g(f).

Passo 4

Avaliação dos extremos do intervalo para confirmar mudança de sinal:
  • Para f=0,01:
\sqrt{0,01}=0,1,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,01}}=10,
A+\frac{B}{0,1}=0,0004054054+0,006275=0,0066804054,
2\log_{10}(0,0066804054)=2\cdot(-2,1751)\approx -4,3502,
g(0,01)=10-4,3502\approx 5,6498>0.
  • Para f=0,08:
\sqrt{0,08}\approx 0,2828427,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,08}}\approx 3,5355339,
A+\frac{B}{0,2828427}\approx 0,0004054054+0,002219\approx 0,0026244,
2\log_{10}(0,0026244)=2\cdot(-2,5800)\approx -5,1600,
g(0,08)\approx 3,5355-5,1600\approx -1,6245<0.
Como g(0,01)>0 e g(0,08)<0, existe pelo menos uma raiz em [0,01,0,08]. Podemos aplicar bisseção.

Passo 5

Iteração 1 (bisseção):
f_{1}=\frac{0,01+0,08}{2}=0,045.
Calcule g(0,045):
\sqrt{0,045}\approx 0,2121320,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,045}}\approx 4,7140452,
A+\frac{B}{0,2121320}\approx 0,0004054054+0,0029569\approx 0,0033623,
2\log_{10}(0,0033623)\approx 2\cdot(-2,4734)\approx -4,9468,
g(0,045)\approx 4,7140-4,9468\approx -0,2328.
Sinal negativo em f_{1}. Como g(0,01)>0 e g(0,045)<0, a raiz está em [0,01,0,045].

Passo 6

Iteração 2:
f_{2}=\frac{0,01+0,045}{2}=0,0275.
Calcule g(0,0275):
\sqrt{0,0275}\approx 0,1658312,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,0275}}\approx 6,0288,
A+\frac{B}{0,1658312}\approx 0,0004054054+0,0037839\approx 0,0041893,
2\log_{10}(0,0041893)\approx 2\cdot(-2,3777)\approx -4,7554,
g(0,0275)\approx 6,0288-4,7554\approx 1,2734>0.
Agora g(0,0275)>0 e g(0,045)<0 ⇒ raiz em [0,0275,0,045].

Passo 7

Iteração 3:
f_{3}=\frac{0,0275+0,045}{2}=0,03625.
Calcule g(0,03625):
\sqrt{0,03625}\approx 0,190394,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,03625}}\approx 5,2534,
A+\frac{B}{0,190394}\approx 0,0004054054+0,003296\approx 0,0037014,
2\log_{10}(0,0037014)\approx 2\cdot(-2,4315)\approx -4,8630,
g(0,03625)\approx 5,2534-4,8630\approx 0,3904>0.
Raiz em [0,03625,0,045].

Passo 8

Iteração 4:
f_{4}=\frac{0,03625+0,045}{2}=0,040625.
Calcule g(0,040625):
\sqrt{0,040625}\approx 0,201556,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,040625}}\approx 4,9626,
A+\frac{B}{0,201556}\approx 0,0004054054+0,003113\approx 0,0035184,
2\log_{10}(0,0035184)\approx 2\cdot(-2,4531)\approx -4,9062,
g(0,040625)\approx 4,9626-4,9062\approx 0,0564>0.
Raiz em [0,040625,0,045].

Passo 9

Iteração 5:
f_{5}=\frac{0,040625+0,045}{2}=0,0428125.
Calcule g(0,0428125):
\sqrt{0,0428125}\approx 0,206931,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,0428125}}\approx 4,8285,
A+\frac{B}{0,206931}\approx 0,0004054054+0,003032\approx 0,0034374,
2\log_{10}(0,0034374)\approx 2\cdot(-2,4639)\approx -4,9278,
g(0,0428125)\approx 4,8285-4,9278\approx -0,0993<0.
Agora g muda de sinal em [0,040625,0,0428125].

Passo 10

Iteração 6:
f_{6}=\frac{0,040625+0,0428125}{2}=0,04171875.
Calcule g(0,04171875):
\sqrt{0,04171875}\approx 0,204258,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,04171875}}\approx 4,8951,
A+\frac{B}{0,204258}\approx 0,0004054054+0,003073\approx 0,0034784,
2\log_{10}(0,0034784)\approx 2\cdot(-2,4587)\approx -4,9174,
g(0,04171875)\approx 4,8951-4,9174\approx -0,0223<0.
Raiz está em [0,040625,0,04171875].

Passo 11

Iteração 7:
f_{7}=\frac{0,040625+0,04171875}{2}=0,041171875.
Calcule g(0,041171875):
\sqrt{0,041171875}\approx 0,202909,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,041171875}}\approx 4,9290,
A+\frac{B}{0,202909}\approx 0,0004054054+0,003091\approx 0,0034964,
2\log_{10}(0,0034964)\approx 2\cdot(-2,4563)\approx -4,9126,
g(0,041171875)\approx 4,9290-4,9126\approx 0,0164>0.
Sinal positivo em f_{7}, então raiz em [0,041171875,0,04171875].

Passo 12

Iteração 8:
f_{8}=\frac{0,041171875+0,04171875}{2}=0,0414453125.
Calcule g(0,0414453125):
\sqrt{0,0414453125}\approx 0,203579,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,0414453125}}\approx 4,9125,
A+\frac{B}{0,203579}\approx 0,0004054054+0,003082\approx 0,0034874,
2\log_{10}(0,0034874)\approx 2\cdot(-2,4586)\approx -4,9168,
g(0,0414453125)\approx 4,9125-4,9168\approx -0,0043<0.
Agora o intervalo é [0,041171875,\;0,0414453125] com largura 0,0414453125-0,041171875=0,0002734375.

Passo 13

Iteração 9:
f_{9}=\frac{0,041171875+0,0414453125}{2}=0,04130859375.
Calcule g(0,04130859375) (valores aproximados):
\sqrt{0,04130859375}\approx 0,203243,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,04130859375}}\approx 4,9208,
A+\frac{B}{0,203243}\approx 0,0004054054+0,003088\approx 0,0034934,
2\log_{10}(0,0034934)\approx 2\cdot(-2,4570)\approx -4,9140,
g(0,04130859375)\approx 4,9208-4,9140\approx 0,0068>0.
Sinal positivo, logo raiz em [0,04130859375,\;0,0414453125]. Largura agora 0,00013671875, ainda maior que 10^{-4}, então continuamos.

Passo 14

Iteração 10:
f_{10}=\frac{0,04130859375+0,0414453125}{2}=0,041376953125.
Calcule g(0,041376953125) (aproximação final):
\sqrt{0,041376953125}\approx 0,203411,\qquad \frac{1}{\sqrt{0,041376953125}}\approx 4,9166,
A+\frac{B}{0,203411}\approx 0,0004054054+0,003085\approx 0,0034904,
2\log_{10}(0,0034904)\approx 2\cdot(-2,4578)\approx -4,9156,
g(0,041376953125)\approx 4,9166-4,9156\approx 0,0010>0.
Agora o intervalo é [0,041376953125,\;0,0414453125] com largura 0,000068359375<10^{-4}. A condição de parada está satisfeita: temos uma aproximação de f com pelo menos 4 casas decimais confiáveis.

Resposta

f \approx 0,0414

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