APLICAÇÃO: Determinação do Fator de Atrito pela Equação de Colebrook-White A equação de Colebrook-White é amplamente empregada para determinar o fator de atrito de Darcy-Weisbach em escoamentos turbulentos em condutos circulares, considerando simultaneamente o efeito da rugosidade relativa e do número de Reynolds. Sua forma implícita é dada por:
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional);
-
é a rugosidade absoluta da parede do tubo (m);
-
é o diâmetro interno do tubo (m);
- Re é o número de Reynolds (adimensional).
Considere os seguintes dados:
A rugosidade relativa é, portanto,
Como a equação é implícita em
, emprega-se o método da bisseção ou Newton para determinar o valor que satisfaz a igualdade. Define-se a função:
e busca-se a raiz de
no intervalo inicial
. [
.]
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita de Colebrook-White e pede o valor do fator de atrito
que satisfaz a igualdade. Dados e informações extraídas do enunciado:
Define-se a função cuja raiz procuramos:
Intervalo inicial fornecido pelo enunciado:
Objetivo: encontrar
tal que
(isto é, determinar o fator de atrito de modo numérico).
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método da bisseção. Por quê? Porque:
- A equação é implícita e não temos uma expressão simples para
, então buscamos uma raiz de . - O enunciado já deu um intervalo
com mudança de sinal (verificável), o que favorece bisseção. - Bisseção é robusto (não precisa da derivada) e fácil de aplicar passo a passo na prova.
Vou parar quando a largura do intervalo for menor que(ou seja, erro típico ), o que nos dará pelo menos 4 casas decimais confiáveis em .
Passo 3
Preparação de constantes e expressão conveniente. Defino:
Então
Para cada
que testarmos, os passos computacionais serão:
- calcular
, 2) calcular , 3) calcular , 4) calcular desse valor, 5) multiplicar por e somar ao para obter .
Vou mostrar cada iteração com esses valores essenciais, sempre observando o sinal de.
Passo 4
Avaliação dos extremos do intervalo para confirmar mudança de sinal:
- Para
:
- Para
:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar bisseção.
Passo 5
Iteração 1 (bisseção):
Calcule
:
Sinal negativo em
. Como
e
, a raiz está em
.
Passo 6
Iteração 2:
Calcule
:
Agora
e
⇒ raiz em
.
Passo 7
Iteração 3:
Calcule
:
Raiz em
.
Passo 8
Iteração 4:
Calcule
:
Raiz em
.
Passo 9
Iteração 5:
Calcule
:
Agora
muda de sinal em
.
Passo 10
Iteração 6:
Calcule
:
Raiz está em
.
Passo 11
Iteração 7:
Calcule
:
Sinal positivo em
, então raiz em
.
Passo 12
Iteração 8:
Calcule
:
Agora o intervalo é
com largura
.
Passo 13
Iteração 9:
Calcule
(valores aproximados):
Sinal positivo, logo raiz em
. Largura agora
, ainda maior que
, então continuamos.
Passo 14
Iteração 10:
Calcule
(aproximação final):
Agora o intervalo é
com largura
. A condição de parada está satisfeita: temos uma aproximação de
com pelo menos 4 casas decimais confiáveis.