A ordem de convergência p fornece uma medida de velocidade com que um método numérico aproximará a raiz exata de uma dada função. Sendo e_{k}=x_{k}-\bar{x}, existindo uma constante C tal que
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\left|e_{k+1}\right|}{\left|e_{k}\right|^{p}}=C
p é denominada de ordem de convergência do método. A ordem pode ser calculada, aproximadamente, considerando a expressão:
p \approx \frac{\ln \left(e_{k+1} / e_{k}\right)}{\ln \left(e_{k} / e_{k-1}\right)}
Sabendo-se que a solução exata do Ex. 4 é \bar{x}=0.904788215184, estime a ordem do método de Newton aplicada ao problema em questão.

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar a ordem de convergência p do método de Newton aplicado ao problema em questão.
Informações dadas no enunciado que são relevantes:
  • A solução exata (raiz) é \bar{x}=0.904788215184.
  • A definição do erro é e_{k}=x_{k}-\bar{x}.
  • A definição teórica da ordem é
\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{|e_{k+1}|}{|e_{k}|^{p}}=C,
onde C é uma constante.
  • A fórmula usada para estimar numericamente p a partir de três iterações consecutivas é
p \approx \frac{\ln\left(e_{k+1}/e_{k}\right)}{\ln\left(e_{k}/e_{k-1}\right)}.
Informação que falta e que é necessária para uma estimativa numérica: os valores das iterações x_{k-1}, x_{k} e x_{k+1} (ou equivalentemente os erros e_{k-1}, e_k, e_{k+1}). Sem esses três números não é possível calcular numericamente a razão acima.

Passo 2

Entendendo o que é a ordem p (aula curta e prática).
  • A ordem p mede a velocidade assintótica com que os erros vão a zero quando a iteração já está próxima da raiz: se p=2, por exemplo, cada erro sucessivo é (aproximadamente) proporcional ao quadrado do erro anterior — isso é muito rápido.
  • A expressão
\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{|e_{k+1}|}{|e_{k}|^{p}}=C
significa que, para k grande, |e_{k+1}|\approx C\,|e_k|^{p}. O expoente p é a ordem, e C é o fator constante que depende da função e da raiz.

Passo 3

Por que o método de Newton costuma ter ordem p=2 (derivação passo a passo, sem pular etapas).
  • A iteração de Newton é
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
  • Denotando e_k=x_k-\bar{x} e lembrando que f(\bar{x})=0, expandimos f e f' em série de Taylor em torno de \bar{x}:
f(x_k)=f'(\bar{x})\,e_k+\tfrac{1}{2}f''(\bar{x})\,e_k^{2}+O(e_k^{3}),
f'(x_k)=f'(\bar{x})+f''(\bar{x})\,e_k+O(e_k^{2}).
Aqui f'(\bar{x}) e f''(\bar{x}) são as primeiras e segundas derivadas avaliadas na raiz; essas notações significam, respectivamente, \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=\bar{x}} e \left.\frac{d^{2}f}{dx^{2}}\right|_{x=\bar{x}}.
  • Agora dividimos as séries para obter a correção de Newton:
\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}=\frac{f'(\bar{x})\,e_k+\tfrac{1}{2}f''(\bar{x})\,e_k^{2}+O(e_k^{3})}{f'(\bar{x})+f''(\bar{x})\,e_k+O(e_k^{2})}.
  • Factorizando f'(\bar{x}) e usando a expansão \frac{1+u}{1+v}=1+(u-v)+O(u^{2},v^{2}) para termos pequenos u,v, obtemos
\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}=e_k-\frac{f''(\bar{x})}{2f'(\bar{x})}\,e_k^{2}+O(e_k^{3}).
  • Assim
x_{k+1}=x_k-\left(e_k-\frac{f''(\bar{x})}{2f'(\bar{x})}\,e_k^{2}+O(e_k^{3})\right)=\bar{x}+\frac{f''(\bar{x})}{2f'(\bar{x})}\,e_k^{2}+O(e_k^{3}).
  • Portanto o erro seguinte é
e_{k+1}=x_{k+1}-\bar{x}=\frac{f''(\bar{x})}{2f'(\bar{x})}\,e_k^{2}+O(e_k^{3}).
Isto mostra que, para k grande,
|e_{k+1}|\approx C\,|e_k|^{2}\quad\text{com}\quad C=\left|\frac{f''(\bar{x})}{2f'(\bar{x})}\right|.
  • Conclusão: sob as hipóteses usuais (raiz simples: f'(\bar{x})\neq 0; f duas vezes diferenciável), o método de Newton tem ordem p=2 (convergência quadrática).

Passo 4

Como estimar numericamente p na prática (passo a passo para aplicar na prova ou num script):
  1. Obtenha três iterações consecutivas já na região assintótica: x_{k-1}, x_k, x_{k+1}.
  2. Calcule os erros usando a raiz exata dada \bar{x}:
e_{k-1}=x_{k-1}-\bar{x},\qquad e_k=x_k-\bar{x},\qquad e_{k+1}=x_{k+1}-\bar{x}.
  1. Use valores absolutos nas razões (para eliminar sinal):
r_1=\frac{|e_{k+1}|}{|e_k|},\qquad r_2=\frac{|e_k|}{|e_{k-1}|}.
  1. Calcule
p\approx\frac{\ln(r_1)}{\ln(r_2)}.
Observações práticas:
  • Use k grande o suficiente para estar no regime assintótico (erros bem pequenos); se você usar iterações iniciais longe da raiz, a estimativa pode falhar.
  • Se algum e_j=0 (alguma iteração atingiu exatamente a raiz), então a ordem empírica perde sentido (o método já convergiu).
  • Use log natural (função \ln) e mantenha as magnitudes em notação científica se precisar.
    Exemplo numérico ilustrativo (não vindo do seu problema, só para ver a conta): se |e_{k-1}|=10^{-2}, |e_k|=10^{-4}, |e_{k+1}|=10^{-8}, então
p\approx\frac{\ln(10^{-8}/10^{-4})}{\ln(10^{-4}/10^{-2})}=\frac{\ln(10^{-4})}{\ln(10^{-2})}=\frac{-4\ln 10}{-2\ln 10}=2.

Passo 5

Aplicação ao seu enunciado: como você forneceu apenas a raiz exata \bar{x}=0.904788215184 e não forneceu os valores das iterações x_{k-1},x_k,x_{k+1}, não é possível calcular aqui uma estimativa numérica específica do p para o problema concreto. Se você colar os três (ou mais) valores de iteração, eu faço a conta e mostro passo a passo a estimativa numérica.
Dica final de amigo: na maioria dos problemas bem comportados com raiz simples, o Newton convergirá com ordem p=2. Se o resultado empírico ficar perto de 2, está tudo certinho — se não, pode ser que a raiz seja múltipla ou que as iterações ainda não estejam no regime assintótico.

Resposta

p=2 (ordem quadrática do método de Newton).
Não é possível fornecer uma estimativa numérica direta pelo formulário p\approx\frac{\ln(e_{k+1}/e_k)}{\ln(e_k/e_{k-1})} sem os valores das iterações x_{k-1},x_k,x_{k+1}.

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