A ordem de convergência p fornece uma medida de velocidade com que um método numérico aproximará a raiz exata de uma dada função. Sendo e_{k}=x_{k}-\bar{x}, existindo uma constante C tal que
A fórmula usada para estimar numericamente p a partir de três iterações consecutivas é
p \approx \frac{\ln\left(e_{k+1}/e_{k}\right)}{\ln\left(e_{k}/e_{k-1}\right)}.
Informação que falta e que é necessária para uma estimativa numérica: os valores das iterações x_{k-1}, x_{k} e x_{k+1} (ou equivalentemente os erros e_{k-1}, e_k, e_{k+1}). Sem esses três números não é possível calcular numericamente a razão acima.
Passo 2
Entendendo o que é a ordem p (aula curta e prática).
A ordem p mede a velocidade assintótica com que os erros vão a zero quando a iteração já está próxima da raiz: se p=2, por exemplo, cada erro sucessivo é (aproximadamente) proporcional ao quadrado do erro anterior — isso é muito rápido.
Aqui f'(\bar{x}) e f''(\bar{x}) são as primeiras e segundas derivadas avaliadas na raiz; essas notações significam, respectivamente, \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=\bar{x}} e \left.\frac{d^{2}f}{dx^{2}}\right|_{x=\bar{x}}.
Agora dividimos as séries para obter a correção de Newton:
Conclusão: sob as hipóteses usuais (raiz simples: f'(\bar{x})\neq 0; f duas vezes diferenciável), o método de Newton tem ordem p=2 (convergência quadrática).
Passo 4
Como estimar numericamente p na prática (passo a passo para aplicar na prova ou num script):
Obtenha três iterações consecutivas já na região assintótica: x_{k-1}, x_k, x_{k+1}.
Calcule os erros usando a raiz exata dada \bar{x}:
Use k grande o suficiente para estar no regime assintótico (erros bem pequenos); se você usar iterações iniciais longe da raiz, a estimativa pode falhar.
Se algum e_j=0 (alguma iteração atingiu exatamente a raiz), então a ordem empírica perde sentido (o método já convergiu).
Use log natural (função \ln) e mantenha as magnitudes em notação científica se precisar.
Exemplo numérico ilustrativo (não vindo do seu problema, só para ver a conta): se |e_{k-1}|=10^{-2}, |e_k|=10^{-4}, |e_{k+1}|=10^{-8}, então
Aplicação ao seu enunciado: como você forneceu apenas a raiz exata \bar{x}=0.904788215184 e não forneceu os valores das iterações x_{k-1},x_k,x_{k+1}, não é possível calcular aqui uma estimativa numérica específica do p para o problema concreto. Se você colar os três (ou mais) valores de iteração, eu faço a conta e mostro passo a passo a estimativa numérica.
Dica final de amigo: na maioria dos problemas bem comportados com raiz simples, o Newton convergirá com ordem p=2. Se o resultado empírico ficar perto de 2, está tudo certinho — se não, pode ser que a raiz seja múltipla ou que as iterações ainda não estejam no regime assintótico.
Resposta
p=2 (ordem quadrática do método de Newton).
Não é possível fornecer uma estimativa numérica direta pelo formulário p\approx\frac{\ln(e_{k+1}/e_k)}{\ln(e_k/e_{k-1})} sem os valores das iterações x_{k-1},x_k,x_{k+1}.