Considere a tabela:
4
6
12
1
5
12
a) Calcule o polinômio interpolador usando Sistemas lineares
b) Calcule uma aproximação para
|
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4 | 6 | 12 |
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1 | 5 | 12 |
b) Calcule uma aproximação para
Passo 1
O enunciado dá três pares ordenados (tabela) e pede duas coisas:
a) Calcular o polinômio interpolador usando sistemas lineares.
b) Calcular uma aproximação para .
b) Calcular uma aproximação para
As informações relevantes são exatamente os três pontos acima; com três pontos distintos existe um único polinômio de grau no máximo 2 que passa por eles (isto será usado na resolução).
Passo 2
Idéia do método (sem resolver ainda): vamos procurar um polinômio de grau no máximo 2 da forma
onde
,
e
são incógnitas. Substituindo cada ponto obtemos um sistema linear de três equações para
. Vou montar esse sistema e resolvê‑lo por eliminação (subtrações e substituições), explicando cada passo com calma.
Passo 3
Montando as equações substituindo os pontos em
:
Para
:
Para
:
Para
:
Esse é o sistema linear em
.
Passo 4
Eliminando
subtraindo equações consecutivas:
Subtraio a primeira da segunda (
):
logo
Dividindo por
:
Subtraio a segunda da terceira (
):
logo
Agora temos o sistema reduzido em
:
Passo 5
Expresso
em função de
a partir da primeira equação reduzida:
Substituo essa expressão na segunda equação reduzida:
Faço a multiplicação e simplifico:
Expliquei cada operação: multiplicação distributiva
, depois somar termos em
e isolar
.
Passo 6
Agora calculo
usando
:
Coloco em denominador comum
(ou
) para simplificar:
portanto
Passo 7
Agora determino
usando a primeira equação original
. Isolo
:
Substituo
e
:
Calculo
:
Calculo
:
Agora:
Coloco tudo em denominador comum
:
logo
Passo 8
Escrevo o polinômio interpolador final com os coeficientes encontrados:
Opcionalmente, escrevendo com denominador comum
:
Passo 9
Agora calculo a aproximação para
substituindo
em
.
Usando a forma com coeficientes:
Calculo termo a termo:
Somando com denominador comum
:
Como decimal: