Considere a tabela:
x 4 6 12
f(x) 1 5 12
a) Calcule o polinômio interpolador usando Sistemas lineares
b) Calcule uma aproximação para f(5)

Passo 1

O enunciado dá três pares ordenados (tabela) e pede duas coisas:
(4,1),\quad (6,5),\quad (12,12).
a) Calcular o polinômio interpolador usando sistemas lineares.
b) Calcular uma aproximação para f(5).
As informações relevantes são exatamente os três pontos acima; com três pontos distintos existe um único polinômio de grau no máximo 2 que passa por eles (isto será usado na resolução).

Passo 2

Idéia do método (sem resolver ainda): vamos procurar um polinômio de grau no máximo 2 da forma
p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são incógnitas. Substituindo cada ponto obtemos um sistema linear de três equações para a,b,c. Vou montar esse sistema e resolvê‑lo por eliminação (subtrações e substituições), explicando cada passo com calma.

Passo 3

Montando as equações substituindo os pontos em p(x)=ax^{2}+bx+c:
Para (4,1):
16a+4b+c=1.
Para (6,5):
36a+6b+c=5.
Para (12,12):
144a+12b+c=12.
Esse é o sistema linear em a,b,c.

Passo 4

Eliminando c subtraindo equações consecutivas:
Subtraio a primeira da segunda ( \text{Eq2} - \text{Eq1}):
(36-16)a+(6-4)b+(c-c)=5-1
logo
20a+2b=4.
Dividindo por 2:
10a+b=2.
Subtraio a segunda da terceira ( \text{Eq3} - \text{Eq2}):
(144-36)a+(12-6)b+(c-c)=12-5
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108a+6b=7.
Agora temos o sistema reduzido em a,b:
\begin{cases} 10a+b=2,\\[4pt] 108a+6b=7. \end{cases}]

Passo 5

Expresso b em função de a a partir da primeira equação reduzida:
b=2-10a.
Substituo essa expressão na segunda equação reduzida:
108a+6(2-10a)=7.
Faço a multiplicação e simplifico:
108a+12-60a=7
48a+12=7
48a=7-12=-5
a=-\frac{5}{48}.
Expliquei cada operação: multiplicação distributiva 6(2-10a), depois somar termos em a e isolar a.

Passo 6

Agora calculo b usando b=2-10a:
b=2-10\left(-\frac{5}{48}\right)=2+\frac{50}{48}.
Coloco em denominador comum 24 (ou 48) para simplificar:
2=\frac{48}{24},\qquad \frac{50}{48}=\frac{25}{24},
portanto
b=\frac{48}{24}+\frac{25}{24}=\frac{73}{24}.

Passo 7

Agora determino c usando a primeira equação original 16a+4b+c=1. Isolo c:
c=1-16a-4b.
Substituo a=-\dfrac{5}{48} e b=\dfrac{73}{24}:
Calculo 16a:
16a=16\left(-\frac{5}{48}\right)=-\frac{80}{48}=-\frac{5}{3}.
Calculo 4b:
4b=4\cdot\frac{73}{24}=\frac{292}{24}=\frac{73}{6}.
Agora:
c=1- \Big(-\frac{5}{3}\Big) - \frac{73}{6} =1+\frac{5}{3}-\frac{73}{6}.
Coloco tudo em denominador comum 6:
1=\frac{6}{6},\qquad \frac{5}{3}=\frac{10}{6},
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c=\frac{6}{6}+\frac{10}{6}-\frac{73}{6}=\frac{6+10-73}{6}=\frac{-57}{6}=-\frac{19}{2}.

Passo 8

Escrevo o polinômio interpolador final com os coeficientes encontrados:
p(x)=-\frac{5}{48}x^{2}+\frac{73}{24}x-\frac{19}{2}.
Opcionalmente, escrevendo com denominador comum 48:
p(x)=\frac{-5x^{2}+146x-456}{48}.

Passo 9

Agora calculo a aproximação para f(5) substituindo x=5 em p(x).
Usando a forma com coeficientes:
p(5)=-\frac{5}{48}\cdot 5^{2}+\frac{73}{24}\cdot 5-\frac{19}{2}.
Calculo termo a termo:
-\frac{5}{48}\cdot 25=-\frac{125}{48},
\frac{73}{24}\cdot 5=\frac{365}{24}=\frac{730}{48},
-\frac{19}{2}=-\frac{456}{48}.
Somando com denominador comum 48:
p(5)=\frac{-125+730-456}{48}=\frac{149}{48}.
Como decimal:
\frac{149}{48}\approx 3{,}104166\ldots

Resposta

p(x)=-\frac{5}{48}x^{2}+\frac{73}{24}x-\frac{19}{2}.
f(5)\approx p(5)=\frac{149}{48}\approx 3{,}104166\ldots

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