Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas.
b) \left\{\begin{array}{l}2 x+y=13 \\ 5 x-2 y=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x + y = 13\\[4pt] 5x - 2y = 1 \end{cases}
Informações dadas (coeficientes e termos independentes):
a_{11}=2,\quad a_{12}=1,\quad a_{21}=5,\quad a_{22}=-2,
b_1=13,\quad b_2=1.
A tarefa é encontrar os valores de x e y que satisfazem as duas equações simultaneamente, aplicando a regra de Cramer.]

Passo 2

Explicando a regra de Cramer (passo-a-passo e com significado das letras): para um sistema 2\times2\) \[\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1\\[4pt] a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases}
definimos o determinante principal D\] como \[D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.\] Se \(D\neq 0, o sistema tem solução única dada por
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},
onde D_x é o determinante obtido substituindo a primeira coluna de coeficientes pelos termos independentes b_1,b_2, e D_y é o determinante obtido substituindo a segunda coluna pelos termos independentes. Ou seja,
D_x=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\[4pt] b_2 & a_{22} \end{vmatrix}, \qquad D_y=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\[4pt] a_{21} & b_2 \end{vmatrix}.
Aqui cada símbolo significa: a_{ij} é o coeficiente da variável correspondente, b_i é o termo independente, D mede se há solução única (se zero, Cramer não se aplica para solução única) e D_x,D_y são auxiliares para calcular x e y.]

Passo 3

Calculemos o determinante principal D do nosso sistema usando os coeficientes identificados no Passo 1:
D=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\[4pt] 5 & -2 \end{vmatrix} =2\cdot(-2)-1\cdot5.
Agora fazemos as contas com calma:
2\cdot(-2)=-4,\qquad -4-5=-9.
Portanto
D=-9.
Como D\neq 0, existe solução única e podemos aplicar a regra de Cramer.]

Passo 4

Calculemos D_x substituindo a primeira coluna pelos termos independentes (b_1,b_2)=(13,1):
D_x=\begin{vmatrix} 13 & 1 \\[4pt] 1 & -2 \end{vmatrix} =13\cdot(-2)-1\cdot1.
Compute passo a passo:
13\cdot(-2)=-26,\qquad -26-1=-27.
Logo
D_x=-27.]

Passo 5

Calculemos D_y substituindo a segunda coluna pelos termos independentes:
D_y=\begin{vmatrix} 2 & 13 \\[4pt] 5 & 1 \end{vmatrix} =2\cdot1-13\cdot5.
Fazendo as contas:
2\cdot1=2,\qquad 13\cdot5=65,\qquad 2-65=-63.
Portanto
D_y=-63.]

Passo 6

Agora aplicamos as fórmulas de Cramer para obter x e y:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{-27}{-9},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-63}{-9}.
Simplificando as frações:
\frac{-27}{-9}=3,\qquad \frac{-63}{-9}=7.
Assim obtemos x=3 e y=7.

Passo 7

Verificação rápida por substituição (para ter confiança na resposta):
Substituindo em \;2x+y=13\;:
2\cdot3+7=6+7=13\quad\checkmark.
Substituindo em \;5x-2y=1\;:
5\cdot3-2\cdot7=15-14=1\quad\checkmark.
As duas equações são satisfeitas, então a solução está correta.

Resposta

x=3,\\ y=7

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