Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas.
d) \left\{\begin{array}{l}3 x-5 y=-46 \\ 5 x-3 y=51\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear aplicando a regra de Cramer. O sistema dado é:
\begin{cases} 3x-5y=-46\\[4pt] 5x-3y=51 \end{cases}
Informações fornecidas: os coeficientes das incógnitas e os termos independentes estão explícitos em cada equação. A tarefa é encontrar x e y.]

Passo 2

Explicação da regra de Cramer para sistemas 2\times2\). Para um sistema genérico \[\begin{cases} a x + b y = e\\[4pt] c x + d y = f \end{cases}
definimos três determinantes:
D=\begin{vmatrix} a & b \\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc,
D_x=\begin{vmatrix} e & b \\\ f & d \end{vmatrix}=ed-bf,
D_y=\begin{vmatrix} a & e \\\ c & f \end{vmatrix}=af-ec.
A regra de Cramer afirma que, se D\neq0\], então \[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}.\] Aqui eu expliquei o que é cada letra: \(a,b,c,d são os coeficientes das incógnitas e e,f são os termos do lado direito. O determinante de uma matriz 2\times2 é sempre ad-bc; isso é só multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair o produto da outra diagonal.]

Passo 3

Identificando os coeficientes do sistema dado com as letras do item anterior:
a=3,\quad b=-5,\quad e=-46,
c=5,\quad d=-3,\quad f=51.
Coloquei cada número na sua posição para usar nas fórmulas dos determinantes.

Passo 4

Calculemos o determinante principal D:
D=\begin{vmatrix}3 & -5\\[4pt]5 & -3\end{vmatrix}=3\cdot(-3)-(-5)\cdot5.
Agora as contas passo a passo:
3\cdot(-3)=-9,
(-5)\cdot5=-25,
D=-9-(-25)=-9+25=16.
Portanto D=16. Como D\neq0, o sistema tem solução única.]

Passo 5

Calculemos D_x usando a fórmula D_x=ed-bf:
D_x=\begin{vmatrix}-46 & -5\\[4pt]51 & -3\end{vmatrix}=(-46)\cdot(-3)-(-5)\cdot51.
Fazendo as multiplicações:
(-46)\cdot(-3)=138,
(-5)\cdot51=-255,
D_x=138-(-255)=138+255=393.
Logo D_x=393.]

Passo 6

Calculemos D_y usando D_y=af-ec:
D_y=\begin{vmatrix}3 & -46\\[4pt]5 & 51\end{vmatrix}=3\cdot51-(-46)\cdot5.
Multiplicando:
3\cdot51=153,
(-46)\cdot5=-230,
D_y=153-(-230)=153+230=383.
Assim D_y=383.]

Passo 7

Agora aplicamos a regra de Cramer para obter x e y:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{393}{16},
y=\frac{D_y}{D}=\frac{383}{16}.
Deixei as frações em forma irredutível; verifiquei que 16 não divide nem 393 nem 383.

Resposta

x=\dfrac{393}{16}
y=\dfrac{383}{16}

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