Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas.
a) \left\{\begin{array}{l}2 x+y=6 \\ x+y=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede que o resolvamos aplicando a regra de Cramer:
\begin{cases} 2x + y = 6\\[6pt] x + y = 6 \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações do sistema são \;2x+y=6\; e \;x+y=6\;.
  • Temos duas incógnitas: \;x\; e \;y\;.
  • A tarefa é usar a regra de Cramer para encontrar os valores de \;x\; e \;y\;.]

Passo 2

Explicando a regra de Cramer (passo-a-passo didático e simples):
  • Para um sistema de duas equações e duas incógnitas escrito em forma matricial como
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\[4pt] y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e\\[4pt] f \end{pmatrix},
definimos o determinante da matriz dos coeficientes por
D=\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
  • Se D\neq 0, o sistema tem solução única dada por
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},
onde D_x é o determinante obtido substituindo a primeira coluna pelos termos independentes \begin{pmatrix}e\\\ f\end{pmatrix}, e D_y é o determinante obtido substituindo a segunda coluna pelos termos independentes. Ou seja,
D_x=\det\begin{pmatrix}e & b\\[4pt] f & d\end{pmatrix},\qquad D_y=\det\begin{pmatrix}a & e\\[4pt] c & f\end{pmatrix}.
  • Observação prática: para uma matriz 2\times2 calcular o determinante é simples: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da outra diagonal.]

Passo 3

Identificamos os coeficientes do nosso sistema com as letras acima:
a=2,\quad b=1,\quad c=1,\quad d=1,\quad e=6,\quad f=6.
Agora calculamos D (determinante da matriz dos coeficientes):
D=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot 1 = 2-1 = 1.
Como D=1\neq 0, a regra de Cramer garante solução única.]

Passo 4

Calculamos D_x, substituindo a primeira coluna por \begin{pmatrix}6\\[4pt]6\end{pmatrix}:
D_x=\det\begin{pmatrix}6 & 1\\[4pt] 6 & 1\end{pmatrix}=6\cdot 1 - 1\cdot 6 = 6-6 = 0.]

Passo 5

Calculamos D_y, substituindo a segunda coluna por \begin{pmatrix}6\\[4pt]6\end{pmatrix}:
D_y=\det\begin{pmatrix}2 & 6\\[4pt] 1 & 6\end{pmatrix}=2\cdot 6 - 6\cdot 1 = 12-6 = 6.]

Passo 6

Agora aplicamos as fórmulas de Cramer para obter \;x\; e \;y\;:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{0}{1}=0,
y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{1}=6.
Verificação rápida (substituir na(s) equação(ões)):
  • Na primeira equação: 2x+y=2\cdot 0 + 6 = 6 (ok).
  • Na segunda equação: x+y=0+6=6 (ok).
    Tudo confere, solução encontrada está correta.

Resposta

x=0\
y=6

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