Considere o problema de encontrar o zero da função
no intervalo
usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
Passo 1
O enunciado pede que a gente analise a convergência do método de ponto fixo para encontrar o zero da função
no intervalo
quando a função de iteração é
Dados e perguntas explícitas:
- Dado: a função a ser zerada é
. - Dado: o intervalo considerado é
. - Dado: a função de iteração é
. - Pergunta: analisar se a iteração
converge para a solução dentro do intervalo dado; discutir existência, unicidade do ponto fixo, se é contração e as consequências (condições para aplicar o teorema do ponto fixo de Banach) e estimativas de erro.
Passo 2
Transformação do problema em ponto fixo e existência de solução no intervalo.
- Primeiro note que procurar zero de
equivale a procurar tal que
ou seja, procurar um ponto fixo de
.
- Defina a função
A função
é contínua em
. Vamos avaliar
nos extremos:
Como
é contínua e muda de sinal em
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz de
(ou seja, pelo menos um ponto fixo de
) em
.
Passo 3
Unicidade do ponto fixo.
- Calcule a derivada de
:
Portanto
é estritamente decrescente em
. Uma função contínua e estritamente monótona que muda de sinal tem exatamente uma raiz. Conclusão: existe exatamente um ponto fixo
de
em
.
Passo 4
Verificação se
é contração no intervalo e se mapeia o intervalo em si (condição do teorema de Banach).
- Derivada de
:
- Assim, para
temos
Logo existe uma constante
tal que
no intervalo — isso indica comportamento de contração localmente/derivada menor que 1.
- Porém, para aplicar diretamente o Teorema do Ponto Fixo de Banach precisamos também que
mapeie o intervalo em si, i.e., . Vamos verificar bordas:
Portanto
sai do intervalo (fica um pouco acima de
), logo
não mapeia todo
em si. Consequência: não podemos aplicar diretamente o Teorema de Banach usando o intervalo inteiro
.
Passo 5
Construção de um subintervalo invariante onde Banach se aplica — garantia prática de convergência global dentro desse subintervalo.
- Queremos encontrar um intervalo
tal que e . Como é decrescente, . Assim basta escolher com
- Uma escolha prática e simples é
. Verificações:
Logo
.
- No intervalo
o maior valor de ocorre em , portanto podemos tomar como constante de contração
- Assim todas as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo de Banach valem em
: é contração em e . Conclusão importante: para qualquer a iteração
converge linearmente (fixo-pt) para o único ponto fixo
em
(que é o mesmo ponto fixo único já garantido em
).
Passo 6
Tipo de convergência, taxa e estimativas de erro (como usar isso na prova).
- Taxa de convergência: pelo teorema de Banach, a convergência é linear com razão
. Ou seja, se então
Isto diz que o erro é reduzido aproximadamente por um fator
a cada iteração (aqui
).
- Estimativa a posteriori útil na prática (para controlar erro sem conhecer
):
Esta fórmula vem de somar a desigualdade geométrica das diferenças e é muito prática na prova: depois de uma iteração você pode computar
e obter um limite para
.
- Observação sobre início fora de
mas dentro de : mesmo que esteja em , numericamente as iterações tendem a entrar em depois de poucos passos (por exemplo dá , , , e a sequência fica então dentro de uma vizinhança onde Banach garante convergência). Formalmente, isso mostra convergência local ao redor de porque , o que garante convergência para pontos suficientemente próximos de .
Passo 7
Valor do ponto fixo e conclusão prática (como usar isso na prova).
- A equação
pode ser resolvida explicitamente com a função de Lambert: . Numericamente
- Conclusões resumidas para usar na prova:
- Há exatamente um zero de
em , equivalendo ao único ponto fixo de naquele intervalo. -
tem derivada em módulo menor que em todo o intervalo (maior valor ), mas não mapeia todo em si (falha a condição porque ). - Podemos escolher um subintervalo invariante
onde é contração com constante . Assim, para qualquer a iteração converge linearmente para . - Estimativas de erro:
e .
- Há exatamente um zero de
Resposta
Existe exatamente um ponto fixo
de
em
(logo um único zero de
no intervalo) e
.
tem
no intervalo, mas não mapeia todo
em si (pois
). Existe um subintervalo invariante
onde
e
é contração com constante
; portanto, para qualquer
a iteração
converge linearmente para
com razão aproximadamente
e as estimativas de erro são
e
.