Considere o problema de encontrar o zero da função f(x)=x+\ln (x) no intervalo 0.5,0.6 usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
\varphi(x)=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente analise a convergência do método de ponto fixo para encontrar o zero da função f no intervalo [0{,}5,0{,}6] quando a função de iteração é
\varphi(x)=e^{-x}.
Dados e perguntas explícitas:
  • Dado: a função a ser zerada é f(x)=x+\ln(x).
  • Dado: o intervalo considerado é [0{,}5,0{,}6].
  • Dado: a função de iteração é \varphi(x)=e^{-x}.
  • Pergunta: analisar se a iteração x_{n+1}=\varphi(x_n) converge para a solução dentro do intervalo dado; discutir existência, unicidade do ponto fixo, se \varphi é contração e as consequências (condições para aplicar o teorema do ponto fixo de Banach) e estimativas de erro.

Passo 2

Transformação do problema em ponto fixo e existência de solução no intervalo.
  • Primeiro note que procurar zero de f equivale a procurar x tal que
f(x)=0 \iff x+\ln(x)=0 \iff x=e^{-x},
ou seja, procurar um ponto fixo de \varphi.
  • Defina a função
g(x)=\varphi(x)-x=e^{-x}-x.
A função g é contínua em [0{,}5,0{,}6]. Vamos avaliar g nos extremos:
g(0{,}5)=e^{-0{,}5}-0{,}5\approx 0{,}6065306597-0{,}5=0{,}1065306597>0,
g(0{,}6)=e^{-0{,}6}-0{,}6\approx 0{,}5488116361-0{,}6=-0{,}0511883639<0.
Como g é contínua e muda de sinal em [0{,}5,0{,}6], pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz de g (ou seja, pelo menos um ponto fixo de \varphi) em [0{,}5,0{,}6].

Passo 3

Unicidade do ponto fixo.
  • Calcule a derivada de g:
g'(x)=\varphi'(x)-1=-e^{-x}-1<0\quad\text{para todo }x>0.
Portanto g é estritamente decrescente em [0{,}5,0{,}6]. Uma função contínua e estritamente monótona que muda de sinal tem exatamente uma raiz. Conclusão: existe exatamente um ponto fixo x^* de \varphi em [0{,}5,0{,}6].

Passo 4

Verificação se \varphi é contração no intervalo e se mapeia o intervalo em si (condição do teorema de Banach).
  • Derivada de \varphi:
\varphi'(x)=-e^{-x}.
  • Assim, para x\in[0{,}5,0{,}6] temos
|\varphi'(x)|=e^{-x}\le e^{-0{,}5}\approx 0{,}6065306597.
Logo existe uma constante L=e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653<1 tal que |\varphi'(x)|\le L no intervalo — isso indica comportamento de contração localmente/derivada menor que 1.
  • Porém, para aplicar diretamente o Teorema do Ponto Fixo de Banach precisamos também que \varphi mapeie o intervalo [0{,}5,0{,}6] em si, i.e., \varphi([0{,}5,0{,}6])\subset[0{,}5,0{,}6]. Vamos verificar bordas:
\varphi(0{,}5)=e^{-0{,}5}\approx 0{,}6065306597>0{,}6,
\varphi(0{,}6)=e^{-0{,}6}\approx 0{,}5488116361>0{,}5.
Portanto \varphi(0{,}5) sai do intervalo (fica um pouco acima de 0{,}6), logo \varphi não mapeia todo [0{,}5,0{,}6] em si. Consequência: não podemos aplicar diretamente o Teorema de Banach usando o intervalo inteiro [0{,}5,0{,}6].

Passo 5

Construção de um subintervalo invariante onde Banach se aplica — garantia prática de convergência global dentro desse subintervalo.
  • Queremos encontrar um intervalo J=[a,b]\subset[0{,}5,0{,}6] tal que \varphi(J)\subset J e \max_{x\in J}|\varphi'(x)|<1. Como \varphi é decrescente, \varphi([a,b])=[\varphi(b),\varphi(a)]. Assim basta escolher a,b com
a\le \varphi(b)\quad\text{e}\quad \varphi(a)\le b.
  • Uma escolha prática e simples é J=[0{,}55,0{,}59]. Verificações:
\varphi(0{,}55)=e^{-0{,}55}\approx 0{,}5769498104\in[0{,}55,0{,}59],
\varphi(0{,}59)=e^{-0{,}59}\approx 0{,}5540211673\in[0{,}55,0{,}59].
Logo \varphi(J)\subset J.
  • No intervalo J o maior valor de |\varphi'| ocorre em x=a=0{,}55, portanto podemos tomar como constante de contração
L_J=e^{-0{,}55}\approx 0{,}5769498104<1.
  • Assim todas as hipóteses do Teorema do Ponto Fixo de Banach valem em J: \varphi é contração em J e \varphi(J)\subset J. Conclusão importante: para qualquer x_0\in J a iteração
x_{n+1}=\varphi(x_n)
converge linearmente (fixo-pt) para o único ponto fixo x^* em J (que é o mesmo ponto fixo único já garantido em [0{,}5,0{,}6]).

Passo 6

Tipo de convergência, taxa e estimativas de erro (como usar isso na prova).
  • Taxa de convergência: pelo teorema de Banach, a convergência é linear com razão L_J. Ou seja, se x_0\in J então
|x_{n}-x^*|\le L_J^{\,n}|x_0-x^*|.
Isto diz que o erro é reduzido aproximadamente por um fator L_J a cada iteração (aqui L_J\approx 0{,}57695).
  • Estimativa a posteriori útil na prática (para controlar erro sem conhecer x^*):
|x_n-x^*|\le \frac{L_J}{1-L_J}\,|x_n-x_{n-1}|.
Esta fórmula vem de somar a desigualdade geométrica das diferenças e é muito prática na prova: depois de uma iteração você pode computar |x_n-x_{n-1}| e obter um limite para |x_n-x^*|.
  • Observação sobre início fora de J mas dentro de [0{,}5,0{,}6]: mesmo que x_0 esteja em [0{,}5,0{,}6]\setminus J, numericamente as iterações tendem a entrar em J depois de poucos passos (por exemplo x_0=0{,}5 x_1\approx0{,}60653, x_2\approx0{,}54524, x_3\approx0{,}5795, e a sequência fica então dentro de uma vizinhança onde Banach garante convergência). Formalmente, isso mostra convergência local ao redor de x^* porque |\varphi'(x^*)|=e^{-x^*}\approx 0{,}5671<1, o que garante convergência para pontos suficientemente próximos de x^*.

Passo 7

Valor do ponto fixo e conclusão prática (como usar isso na prova).
  • A equação x=e^{-x} pode ser resolvida explicitamente com a função W de Lambert: x^*=W(1). Numericamente
x^*\approx 0{,}5671432904097838.
  • Conclusões resumidas para usar na prova:
    • Há exatamente um zero de f em [0{,}5,0{,}6], equivalendo ao único ponto fixo de \varphi naquele intervalo.
    • \varphi tem derivada em módulo menor que 1 em todo o intervalo (maior valor \approx 0{,}60653), mas não mapeia todo [0{,}5,0{,}6] em si (falha a condição \varphi([0{,}5,0{,}6])\subset[0{,}5,0{,}6] porque \varphi(0{,}5)>0{,}6).
    • Podemos escolher um subintervalo invariante J=[0{,}55,0{,}59]\subset[0{,}5,0{,}6] onde \varphi é contração com constante L_J\approx 0{,}57695. Assim, para qualquer x_0\in J a iteração converge linearmente para x^*.
    • Estimativas de erro: |x_n-x^*|\le L_J^{\,n}|x_0-x^*| e |x_n-x^*|\le \dfrac{L_J}{1-L_J}|x_n-x_{n-1}|.

Resposta

Existe exatamente um ponto fixo x^* de \varphi(x)=e^{-x} em [0{,}5,0{,}6] (logo um único zero de f no intervalo) e x^*=W(1)\approx 0{,}5671432904. \varphi tem |\varphi'(x)|\le e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653<1 no intervalo, mas não mapeia todo [0{,}5,0{,}6] em si (pois \varphi(0{,}5)\approx0{,}60653>0{,}6). Existe um subintervalo invariante J=[0{,}55,0{,}59] onde \varphi(J)\subset J e \varphi é contração com constante L_J=e^{-0{,}55}\approx0{,}57695; portanto, para qualquer x_0\in J a iteração x_{n+1}=e^{-x_n} converge linearmente para x^* com razão aproximadamente 0{,}57695 e as estimativas de erro são |x_n-x^*|\le L_J^{\,n}|x_0-x^*| e |x_n-x^*|\le \dfrac{L_J}{1-L_J}|x_n-x_{n-1}|.

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