Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificaçāo dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja
, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
(c)
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede: para a equação
classificar, no domínio
, os pontos singulares quando eles existirem. Informações dadas e observações iniciais que peguei do enunciado:
- A equação está na forma
com - O domínio considerado é
. Para que esteja bem definido em todo é necessário assumir . Vou assumir (se a expressão não é, em geral, definida para todo e a questão fica mal formulada). - Pontos singulares só podem ocorrer onde
ou não são analíticos. Aqui é polinomial (analítica em toda parte), então possíveis singularidades vêm dos pontos onde o denominador se anula. - O que é pedido: identificar esses pontos (as soluções de
) e classificá-los como ponto ordinário, ponto singular regular ou ponto singular irregular (para aplicar Frobenius interessa saber se são regulares).
Passo 2
Definições necessárias (explicadas de forma direta):
- Um ponto
é ponto ordinário se e são analíticos em . - Se
ou não são analíticos em , então é ponto singular. Entre singulares: -
é singular regular (ponto singular regular) se e são analíticos em . - Caso contrário (isto é, se
ou não forem analíticos), é singular irregular.
-
- Intuição prática:
pode ter no máximo pólo simples em e pólo de ordem no máximo para o ponto ser regular. Aqui é inteira, então só precisamos ver a ordem do pólo de nos zeros do denominador.
Passo 3
Identificar os pontos onde
é singular:
- Pontos singulares possíveis são as soluções de
- Nota imediata:
é sempre uma solução, porque . Logo é um ponto singular para qualquer . - Podem existir outros zeros reais dessa função dependendo de
; mas não precisamos listar todos explicitamente: seja qualquer solução real de .
Passo 4
Analisar a multiplicidade do zero em
usando derivadas (isso determina a ordem do pólo de
):
- Defina
. Então
- Se
e , então é zero simples de e, perto de , portanto ou seja, tem pólo simples (ordem ) em . - Se
e mas , então é zero duplo de e, perto de , logo ou seja, tem pólo de ordem em .
Passo 5
Mostrar que a multiplicidade de um zero de
nunca pode ser maior que
:
- Para ter multiplicidade
seria necessário . - Mas
. Como para , temos somente se , isto é, somente se . - Se
então , e . Logo em a multiplicidade em é , não 3. Portanto não há como ter e ao mesmo tempo num mesmo zero. - Conclusão: qualquer zero real
de tem multiplicidade . Não existem zeros de ordem .
Passo 6
Classificação final usando a ordem dos zeros:
- Se
é solução de e (zero simples), então tem pólo de ordem em . Como é analítico, é analítico (é zero em ) e também é analítico (pois multiplica-se por e sobra um fator que o torna regular). Portanto é um ponto singular regular. - Se
é solução e (zero duplo), então tem pólo de ordem em . Ainda assim é analítico e é analítico (não singular). Logo também é um ponto singular regular. - Como vimos, multiplicidade maior que
não ocorre, então não há pontos singulares irregulares (pólos de ordem em nem comportamento mais destrutivo).
Passo 7
Observações e casos especiais:
- Em particular
é sempre ponto singular (porque ); a natureza dele depende de : - Se
(isto é, ) então e é zero simples singular regular. - Se
então e , portanto é zero duplo singular regular (pólo de ordem em ).
- Se
- Para
a função não é bem definida para todos os , portanto a hipótese do enunciado (domínio ) exige . Com a classificação acima vale.
Resposta
Os pontos singulares são exatamente as soluções reais de
. Assumindo
(para que
esteja definido em
), cada uma dessas soluções é um ponto singular regular (não há pontos singulares irregulares). Os pontos onde
são pontos ordinários.