Para aplicar o método de Frobenius é necessário fazer primeiro a classificaçāo dos pontos singulares da equação diferencial. Supondo que o dominio das equações diferenciais seja \mathbb{R}, classifique os pontos singulares, quando presentes, das equações diferenciais abaixo:
(c) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\frac{y}{c^{x}-1-x}=0.

Passo 1

O enunciado pede: para a equação
y'' + x\,y' + \frac{y}{c^{x}-1-x}=0
classificar, no domínio \mathbb{R}, os pontos singulares quando eles existirem. Informações dadas e observações iniciais que peguei do enunciado:
  • A equação está na forma y'' + p(x)y' + q(x)y=0 com p(x)=x,\qquad q(x)=\frac{1}{c^{x}-1-x}.
  • O domínio considerado é \mathbb{R}. Para que c^{x} esteja bem definido em todo \mathbb{R} é necessário assumir c>0. Vou assumir c>0 (se c\le0 a expressão c^{x} não é, em geral, definida para todo x\in\mathbb{R} e a questão fica mal formulada).
  • Pontos singulares só podem ocorrer onde p ou q não são analíticos. Aqui p(x)=x é polinomial (analítica em toda parte), então possíveis singularidades vêm dos pontos onde o denominador c^{x}-1-x se anula.
  • O que é pedido: identificar esses pontos (as soluções de c^{x}-1-x=0) e classificá-los como ponto ordinário, ponto singular regular ou ponto singular irregular (para aplicar Frobenius interessa saber se são regulares).

Passo 2

Definições necessárias (explicadas de forma direta):
  • Um ponto x_0 é ponto ordinário se p e q são analíticos em x_0.
  • Se p ou q não são analíticos em x_0, então x_0 é ponto singular. Entre singulares:
    • x_0 é singular regular (ponto singular regular) se (x-x_0)p(x) e (x-x_0)^2 q(x) são analíticos em x_0.
    • Caso contrário (isto é, se (x-x_0)p(x) ou (x-x_0)^2 q(x) não forem analíticos), x_0 é singular irregular.
  • Intuição prática: p pode ter no máximo pólo simples em x_0 e q pólo de ordem no máximo 2 para o ponto ser regular. Aqui p é inteira, então só precisamos ver a ordem do pólo de q nos zeros do denominador.

Passo 3

Identificar os pontos onde q é singular:
  • Pontos singulares possíveis são as soluções de c^{x}-1-x=0.
  • Nota imediata: x=0 é sempre uma solução, porque c^{0}-1-0=1-1=0. Logo x_0=0 é um ponto singular para qualquer c>0.
  • Podem existir outros zeros reais dessa função dependendo de c; mas não precisamos listar todos explicitamente: seja x_0 qualquer solução real de c^{x_0}-1-x_0=0.

Passo 4

Analisar a multiplicidade do zero em x_0 usando derivadas (isso determina a ordem do pólo de q):
  • Defina f(x)=c^{x}-1-x. Então f'(x)=c^{x}\ln c -1,
f''(x)=c^{x}(\ln c)^2.
  • Se f(x_0)=0 e f'(x_0)\neq0, então x_0 é zero simples de f e, perto de x_0, f(x)\approx f'(x_0)(x-x_0),portanto q(x)=\frac{1}{f(x)}\approx\frac{1}{f'(x_0)}\frac{1}{x-x_0},ou seja, q tem pólo simples (ordem 1) em x_0.
  • Se f(x_0)=0 e f'(x_0)=0 mas f''(x_0)\neq0, então x_0 é zero duplo de f e, perto de x_0, f(x)\approx \tfrac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2,logo q(x)\approx \frac{2}{f''(x_0)}\frac{1}{(x-x_0)^2},ou seja, q tem pólo de ordem 2 em x_0.

Passo 5

Mostrar que a multiplicidade de um zero de f nunca pode ser maior que 2:
  • Para ter multiplicidade \ge3 seria necessário f(x_0)=f'(x_0)=f''(x_0)=0.
  • Mas f''(x_0)=c^{x_0}(\ln c)^2. Como c^{x_0}>0 para c>0, temos f''(x_0)=0 somente se \ln c=0, isto é, somente se c=1.
  • Se c=1 então f(x)=1^{x}-1-x=-x, e f'(x)=-1\neq0. Logo em c=1 a multiplicidade em x_0=0 é 1, não 3. Portanto não há como ter f''(x_0)=0 e ao mesmo tempo f'(x_0)=0 num mesmo zero.
  • Conclusão: qualquer zero real x_0 de f tem multiplicidade m\le2. Não existem zeros de ordem \ge3.

Passo 6

Classificação final usando a ordem dos zeros:
  • Se x_0 é solução de c^{x_0}-1-x_0=0 e f'(x_0)\neq0 (zero simples), então q tem pólo de ordem 1 em x_0. Como p é analítico, (x-x_0)p(x) é analítico (é zero em x_0) e (x-x_0)^2 q(x) também é analítico (pois multiplica-se por (x-x_0)^2 e sobra um fator (x-x_0) que o torna regular). Portanto x_0 é um ponto singular regular.
  • Se x_0 é solução e f'(x_0)=0 (zero duplo), então q tem pólo de ordem 2 em x_0. Ainda assim (x-x_0)p(x) é analítico e (x-x_0)^2 q(x) é analítico (não singular). Logo x_0 também é um ponto singular regular.
  • Como vimos, multiplicidade maior que 2 não ocorre, então não há pontos singulares irregulares (pólos de ordem >2 em q nem comportamento mais destrutivo).

Passo 7

Observações e casos especiais:
  • Em particular x=0 é sempre ponto singular (porque c^{0}-1-0=0); a natureza dele depende de f'(0)=\ln c-1:
    • Se \ln c\neq1 (isto é, c\neq e) então f'(0)\neq0 e x=0 é zero simples \Rightarrow singular regular.
    • Se c=e então f'(0)=0 e f''(0)=1\neq0, portanto x=0 é zero duplo \Rightarrow singular regular (pólo de ordem 2 em q).
  • Para c\le0 a função c^{x} não é bem definida para todos os x\in\mathbb{R}, portanto a hipótese do enunciado (domínio \mathbb{R}) exige c>0. Com c>0 a classificação acima vale.

Resposta

Os pontos singulares são exatamente as soluções reais de \;c^{x}-1-x=0\;. Assumindo c>0 (para que c^{x} esteja definido em \mathbb{R}), cada uma dessas soluções é um ponto singular regular (não há pontos singulares irregulares). Os pontos onde c^{x}-1-x\neq0 são pontos ordinários.

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