Questão (3,0 Pontos): Resolver o sistema EALs utilizando o método de Gauss-Jacobi, admitindo 3 casas decimais nos resultados.
\left\{\begin{array}{l} 2,10 x_{1}^{(k)}-4,21 x_{2}^{(k)}+0,92 x_{3}^{(k)}=2,01 \\\\ 4,01 x_{1}^{(k)}+10,20 x_{2}^{(k)}-1,12 x_{3}^{(k)}=-3,09 ; \mathrm{s}_{\mathrm{x}}^{(0)}=\left(\mathrm{x}_{1}^{(0)}=-0,45 \mathrm{x}_{2}^{(0)}=0,35 \mathrm{x}_{3}^{(0)}=0,25\right)^{\mathrm{t}} \\\\ 1,09 x_{1}^{(k)}+0,98 x_{2}^{(k)}+0,83 x_{3}^{(k)}=4,21 \end{array}\right.
a.) (1,0 ponto) Mostrar toda metodologia do método de Gauss-Jacobi;
b.) ( 2 pontos) Fazer 3 soluções, tomando S_{x}^{(0)} como a primeira solução.
Nota referente a questão 3: O k que aparece nas variáveis \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} e \mathrm{x}_{3} é uma constante de iterações. Outro ponto importante na questão é que estou pedindo 3 soluções, mas já dou a primeira solução, entăo o aluno só precisa fazer \mathrm{k}=0 e \mathrm{k}=1 a partir das equações iterativas do método de Gauss-Jacobi.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Sistema linear fornecido (os números abaixo foram copiados do enunciado):
\begin{cases} 2,10\,x_{1}-4,21\,x_{2}+0,92\,x_{3}=2,01,\\[4pt] 4,01\,x_{1}+10,20\,x_{2}-1,12\,x_{3}=-3,09,\\[4pt] 1,09\,x_{1}+0,98\,x_{2}+0,83\,x_{3}=4,21. \end{cases}
  • A primeira solução inicial (já dada) é
S_{x}^{(0)}=\big(x_{1}^{(0)}=-0,45,\;x_{2}^{(0)}=0,35,\;x_{3}^{(0)}=0,25\big)^{\!t}.
  • O enunciado pede:
    a) mostrar toda a metodologia do método de Gauss-Jacobi;
    b) obter 3 soluções, tomando S_{x}^{(0)} como a primeira solução (portanto calcular S^{(1)} e S^{(2)}).]

Passo 2

Explicação didática e fórmula iterativa (metodologia do método de Gauss-Jacobi).
  • Ideia do método (em palavras simples): isolar cada variável pela sua equação principal (o termo com o coeficiente da diagonal), e calcular a nova aproximação de cada variável usando apenas os valores da iteração anterior para as outras variáveis. Ou seja, todas as componentes de S^{(k+1)} são calculadas a partir de S^{(k)} (sem usar valores já atualizados dentro da mesma iteração). Isso o distingue do método de Gauss-Seidel.
  • Como obter as fórmulas: para cada equação do sistema, isola-se o termo com o coeficiente diagonal a_{ii}. Se a i-ésima equação é
a_{ii} x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i,
então a iteração de Gauss-Jacobi é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Big).
  • Significado de cada símbolo na fórmula:
    • x_i^{(k)} é a aproximação da i-ésima variável na iteração k.
    • a_{ii} é o coeficiente da i-ésima variável na i-ésima equação (coeficiente da diagonal).
    • a_{ij} são os demais coeficientes da linha i.
    • b_i é o termo independente da i-ésima equação.
    • x_i^{(k+1)} é a nova aproximação calculada para a variável i.
  • Observação prática sobre arredondamento: como o enunciado pede “admitindo 3 casas decimais nos resultados”, a prática comum é apresentar cada S^{(k)} arredondado a 3 casas. Para obter S^{(k+1)} usamos os valores de S^{(k)} (arredondados conforme a regra do exercício).

Passo 3

Aplicar a regra de isolamento às três equações do sistema para obter as fórmulas iterativas explícitas.
Partindo das equações dadas:
  1. 2,10\,x_{1}-4,21\,x_{2}+0,92\,x_{3}=2,01.
    Isolando x_{1}:
2,10\,x_{1}=2,01+4,21\,x_{2}-0,92\,x_{3},
portanto
x_{1}^{(k+1)}=\dfrac{2,01+4,21\,x_{2}^{(k)}-0,92\,x_{3}^{(k)}}{2,10}.
  1. 4,01\,x_{1}+10,20\,x_{2}-1,12\,x_{3}=-3,09.
    Isolando x_{2}:
10,20\,x_{2}=-3,09-4,01\,x_{1}+1,12\,x_{3},
portanto
x_{2}^{(k+1)}=\dfrac{-3,09-4,01\,x_{1}^{(k)}+1,12\,x_{3}^{(k)}}{10,20}.
  1. 1,09\,x_{1}+0,98\,x_{2}+0,83\,x_{3}=4,21.
    Isolando x_{3}:
0,83\,x_{3}=4,21-1,09\,x_{1}-0,98\,x_{2},
portanto
x_{3}^{(k+1)}=\dfrac{4,21-1,09\,x_{1}^{(k)}-0,98\,x_{2}^{(k)}}{0,83}.
Essas três fórmulas constituem o esquema iterativo de Gauss-Jacobi que vamos usar.

Passo 4

Preparação para as iterações (dados iniciais e regra de arredondamento).
  • Iteração inicial (dada):
S_{x}^{(0)}=\big(x_{1}^{(0)}=-0,45,\;x_{2}^{(0)}=0,35,\;x_{3}^{(0)}=0,25\big)^{\!t}.
  • Regra de cálculo: para obter S^{(1)} plugamos os valores de S^{(0)} nas fórmulas do Passo 3. Apresentarei cada componente e arredondarei o resultado final de cada componente para 3 casas decimais, conforme pedido. Em seguida, para S^{(2)} usarei os valores de S^{(1)} (já arredondados) nas mesmas fórmulas.

Passo 5

Cálculo de S^{(1)} (usar S^{(0)} nas fórmulas).
Usando
\,x_{1}^{(0)}=-0,45,\;x_{2}^{(0)}=0,35,\;x_{3}^{(0)}=0,25\,:
  • Cálculo de x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\dfrac{2,01+4,21\cdot 0,35-0,92\cdot 0,25}{2,10}.
Passo a passo dos produtos:
4,21\cdot 0,35=1,4735,\qquad 0,92\cdot 0,25=0,23.
Somando/subtraindo:
2,01+1,4735-0,23=3,2535.
Dividindo:
x_{1}^{(1)}=\dfrac{3,2535}{2,10}=1,5492857\ldots
Arredondando a 3 casas decimais:
x_{1}^{(1)}=1,549.
  • Cálculo de x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\dfrac{-3,09-4,01\cdot(-0,45)+1,12\cdot 0,25}{10,20}.
Produtos:
-4,01\cdot(-0,45)=1,8045,\qquad 1,12\cdot 0,25=0,28.
Somando/subtraindo:
-3,09+1,8045+0,28=-1,0055.
Dividindo:
x_{2}^{(1)}=\dfrac{-1,0055}{10,20}=-0,0985784\ldots
Arredondando a 3 casas decimais:
x_{2}^{(1)}=-0,099.
  • Cálculo de x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\dfrac{4,21-1,09\cdot(-0,45)-0,98\cdot 0,35}{0,83}.
Produtos:
-1,09\cdot(-0,45)=0,4905,\qquad 0,98\cdot 0,35=0,343.
Somando/subtraindo:
4,21+0,4905-0,343=4,3575.
Dividindo:
x_{3}^{(1)}=\dfrac{4,3575}{0,83}=5,2518072\ldots
Arredondando a 3 casas decimais:
x_{3}^{(1)}=5,252.
Portanto
S_{x}^{(1)}=\big(1,549,\;-0,099,\;5,252\big)^{\!t}.

Passo 6

Cálculo de S^{(2)} (usar S^{(1)}, arredondado, nas fórmulas).
Agora usamos
\,x_{1}^{(1)}=1,549,\;x_{2}^{(1)}=-0,099,\;x_{3}^{(1)}=5,252\,.
  • Cálculo de x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\dfrac{2,01+4,21\cdot(-0,099)-0,92\cdot 5,252}{2,10}.
Produtos:
4,21\cdot(-0,099)=-0,41679,\qquad 0,92\cdot 5,252=4,83184.
Somando/subtraindo:
2,01-0,41679-4,83184=-3,23863.
Dividindo:
x_{1}^{(2)}=\dfrac{-3,23863}{2,10}=-1,5426828\ldots
Arredondando a 3 casas decimais:
x_{1}^{(2)}=-1,543.
  • Cálculo de x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\dfrac{-3,09-4,01\cdot 1,549+1,12\cdot 5,252}{10,20}.
Produtos:
-4,01\cdot 1,549=-6,21249,\qquad 1,12\cdot 5,252=5,88224.
Somando/subtraindo:
-3,09-6,21249+5,88224=-3,42025.
Dividindo:
x_{2}^{(2)}=\dfrac{-3,42025}{10,20}=-0,3353421\ldots
Arredondando a 3 casas decimais:
x_{2}^{(2)}=-0,335.
  • Cálculo de x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\dfrac{4,21-1,09\cdot 1,549-0,98\cdot(-0,099)}{0,83}.
Produtos:
1,09\cdot 1,549=1,68841,\qquad 0,98\cdot(-0,099)=-0,09702.
Somando/subtraindo (atenção aos sinais):
4,21-1,68841-(-0,09702)=4,21-1,68841+0,09702=2,61861.
Dividindo:
x_{3}^{(2)}=\dfrac{2,61861}{0,83}=3,1549518\ldots
Arredondando a 3 casas decimais:
x_{3}^{(2)}=3,155.
Portanto
S_{x}^{(2)}=\big(-1,543,\;-0,335,\;3,155\big)^{\!t}.

Resposta

S_{x}^{(0)}=\big(-0,45,\;0,35,\;0,25\big)^{\!t}
S_{x}^{(1)}=\big(1,549,\;-0,099,\;5,252\big)^{\!t}
S_{x}^{(2)}=\big(-1,543,\;-0,335,\;3,155\big)^{\!t}

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