a.) (1,0 ponto) Mostrar toda metodologia do método de Gauss-Jacobi;
b.) ( 2 pontos) Fazer 3 soluções, tomando S_{x}^{(0)} como a primeira solução.
Nota referente a questão 3: O k que aparece nas variáveis \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} e \mathrm{x}_{3} é uma constante de iterações. Outro ponto importante na questão é que estou pedindo 3 soluções, mas já dou a primeira solução, entăo o aluno só precisa fazer \mathrm{k}=0 e \mathrm{k}=1 a partir das equações iterativas do método de Gauss-Jacobi.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Sistema linear fornecido (os números abaixo foram copiados do enunciado):
O enunciado pede:
a) mostrar toda a metodologia do método de Gauss-Jacobi;
b) obter 3 soluções, tomando S_{x}^{(0)} como a primeira solução (portanto calcular S^{(1)} e S^{(2)}).]
Passo 2
Explicação didática e fórmula iterativa (metodologia do método de Gauss-Jacobi).
Ideia do método (em palavras simples): isolar cada variável pela sua equação principal (o termo com o coeficiente da diagonal), e calcular a nova aproximação de cada variável usando apenas os valores da iteração anterior para as outras variáveis. Ou seja, todas as componentes de S^{(k+1)} são calculadas a partir de S^{(k)} (sem usar valores já atualizados dentro da mesma iteração). Isso o distingue do método de Gauss-Seidel.
Como obter as fórmulas: para cada equação do sistema, isola-se o termo com o coeficiente diagonal a_{ii}. Se a i-ésima equação é
x_i^{(k)} é a aproximação da i-ésima variável na iteração k.
a_{ii} é o coeficiente da i-ésima variável na i-ésima equação (coeficiente da diagonal).
a_{ij} são os demais coeficientes da linha i.
b_i é o termo independente da i-ésima equação.
x_i^{(k+1)} é a nova aproximação calculada para a variável i.
Observação prática sobre arredondamento: como o enunciado pede “admitindo 3 casas decimais nos resultados”, a prática comum é apresentar cada S^{(k)} arredondado a 3 casas. Para obter S^{(k+1)} usamos os valores de S^{(k)} (arredondados conforme a regra do exercício).
Passo 3
Aplicar a regra de isolamento às três equações do sistema para obter as fórmulas iterativas explícitas.
Regra de cálculo: para obter S^{(1)} plugamos os valores de S^{(0)} nas fórmulas do Passo 3. Apresentarei cada componente e arredondarei o resultado final de cada componente para 3 casas decimais, conforme pedido. Em seguida, para S^{(2)} usarei os valores de S^{(1)} (já arredondados) nas mesmas fórmulas.