Questão ( 3 pontos): Resolver o sistema de equações algébricas lineares pelo método Gauss-Seidel, admitindo 02 casas decimais.
\left\{\begin{aligned} 5 x-y+z & =2,17 \\\ x-8 y+2 z & =-3,79 ; S^{(0)}=\left(x^{(0)}=0 y^{(0)}=0 z^{(0)}=0\right)^{1} \\\\ 2 x-2 y+8 z & =5,81 \end{aligned}\right.
a.) Exibir os cálculos detalhados dos valores de x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} e erro { }^{(k)} encontrados nas iterações.
b.) Realize 03 (três iterações).
c.) Fazer uma tabela resumo exibindo iteração, valores das componentes das aproximações do vetor solução e estimativa do erro: \mathrm{Erro}^{(k)}=\left|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right|.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear e pede para resolver pelo método de Gauss–Seidel, com arredondamento a 2 casas decimais, partindo de [S{(0)}=(x{(0)}=0,;y{(0)}=0,;z{(0)}=0)) e realizando 03 iterações. As equações são (peguei todos os números do enunciado):
\begin{cases} 5x - y + z = 2{,}17,\\[4pt] x - 8y + 2z = -3{,}79,\\[4pt] 2x - 2y + 8z = 5{,}81. \end{cases}
O que preciso entregar:
  • (a) os cálculos detalhados dos x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}\] e o erro \(\mathrm{Erro}^{(k)} encontrados em cada iteração (usar 2 casas decimais);
  • (b) realizar exatamente 3 iterações;
  • (c) uma tabela resumo com a iteração, os componentes x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)} e a estimativa do erro \mathrm{Erro}^{(k)}=\left|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right|.]

Passo 2

Explicação do método Gauss–Seidel (passo-a-passo curto e prático para a prova).
  • Ideia: isolam-se as variáveis em cada equação e atualiza-se cada variável usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Isso costuma convergir mais rápido que Jacobi.
  • Para este sistema, isolamos x,\;y,\;z das equações:
Da primeira equação:
5x - y + z = 2{,}17 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{2{,}17 + y - z}{5}.
Da segunda equação:
x - 8y + 2z = -3{,}79 \quad\Rightarrow\quad -8y = -x - 2z - 3{,}79 \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{x + 2z + 3{,}79}{8}.
Da terceira equação:
2x - 2y + 8z = 5{,}81 \quad\Rightarrow\quad 8z = 5{,}81 - 2x + 2y \quad\Rightarrow\quad z = \dfrac{5{,}81 - 2x + 2y}{8}.
Regra prática para iterações (Gauss–Seidel): ao calcular x^{(k)} usa-se y^{(k-1)},z^{(k-1)}; ao calcular y^{(k)} usa-se x^{(k)} (já atualizado) e z^{(k-1)}; ao calcular z^{(k)} usa-se x^{(k)} e y^{(k)} (ambos já atualizados nesta iteração). Em cada atualização, os valores serão arredondados a 2 casas decimais (conforme o enunciado), pois isso é pedido explicitamente.
Vou fazer 3 iterações completas e em cada operação mostro a conta e o arredondamento.

Passo 3

Iteração k=1. Partimos de x^{(0)}=0,\;y^{(0)}=0,\;z^{(0)}=0.
  1. Calcular x^{(1)} pela fórmula
x^{(1)}=\dfrac{2{,}17 + y^{(0)} - z^{(0)}}{5}=\dfrac{2{,}17 + 0 - 0}{5}=\dfrac{2{,}17}{5}=0{,}434.
Arredondando a 2 casas decimais: x^{(1)}=0{,}43.
  1. Calcular y^{(1)} usando x^{(1)} e z^{(0)}:
y^{(1)}=\dfrac{x^{(1)} + 2z^{(0)} + 3{,}79}{8}=\dfrac{0{,}43 + 0 + 3{,}79}{8}=\dfrac{4{,}22}{8}=0{,}5275.
Arredondando: y^{(1)}=0{,}53.
  1. Calcular z^{(1)} usando x^{(1)} e y^{(1)}:
z^{(1)}=\dfrac{5{,}81 - 2x^{(1)} + 2y^{(1)}}{8} =\dfrac{5{,}81 - 2\cdot0{,}43 + 2\cdot0{,}53}{8} =\dfrac{5{,}81 - 0{,}86 + 1{,}06}{8} =\dfrac{6{,}01}{8}=0{,}75125.
Arredondando: z^{(1)}=0{,}75.
  1. Estimativa do erro (definido no enunciado):
\mathrm{Erro}^{(1)}=\left|x^{(1)}-x^{(0)}\right|=\left|0{,}43-0\right|=0{,}43.
Resumo da iteração 1:
x^{(1)}=0{,}43,\qquad y^{(1)}=0{,}53,\qquad z^{(1)}=0{,}75,\qquad \mathrm{Erro}^{(1)}=0{,}43.

Passo 4

Iteração k=2. Usamos x^{(1)}=0{,}43,\;y^{(1)}=0{,}53,\;z^{(1)}=0{,}75.
  1. x^{(2)}:
x^{(2)}=\dfrac{2{,}17 + y^{(1)} - z^{(1)}}{5} =\dfrac{2{,}17 + 0{,}53 - 0{,}75}{5} =\dfrac{1{,}95}{5}=0{,}39.
Arredondamento: x^{(2)}=0{,}39.
  1. y^{(2)} usando x^{(2)} e z^{(1)}:
y^{(2)}=\dfrac{x^{(2)} + 2z^{(1)} + 3{,}79}{8} =\dfrac{0{,}39 + 2\cdot0{,}75 + 3{,}79}{8} =\dfrac{0{,}39 + 1{,}50 + 3{,}79}{8} =\dfrac{5{,}68}{8}=0{,}71.
Arredondamento: y^{(2)}=0{,}71.
  1. z^{(2)} usando x^{(2)} e y^{(2)}:
z^{(2)}=\dfrac{5{,}81 - 2x^{(2)} + 2y^{(2)}}{8} =\dfrac{5{,}81 - 2\cdot0{,}39 + 2\cdot0{,}71}{8} =\dfrac{5{,}81 - 0{,}78 + 1{,}42}{8} =\dfrac{6{,}45}{8}=0{,}80625.
Arredondando a 2 casas: z^{(2)}=0{,}81.
  1. Erro:
\mathrm{Erro}^{(2)}=\left|x^{(2)}-x^{(1)}\right|=\left|0{,}39-0{,}43\right|=0{,}04.
Resumo da iteração 2:
x^{(2)}=0{,}39,\qquad y^{(2)}=0{,}71,\qquad z^{(2)}=0{,}81,\qquad \mathrm{Erro}^{(2)}=0{,}04.

Passo 5

Iteração k=3. Usamos x^{(2)}=0{,}39,\;y^{(2)}=0{,}71,\;z^{(2)}=0{,}81.
  1. x^{(3)}:
x^{(3)}=\dfrac{2{,}17 + y^{(2)} - z^{(2)}}{5} =\dfrac{2{,}17 + 0{,}71 - 0{,}81}{5} =\dfrac{2{,}07}{5}=0{,}414.
Arredondando: x^{(3)}=0{,}41.
  1. y^{(3)} usando x^{(3)} e z^{(2)}:
y^{(3)}=\dfrac{x^{(3)} + 2z^{(2)} + 3{,}79}{8} =\dfrac{0{,}41 + 2\cdot0{,}81 + 3{,}79}{8} =\dfrac{0{,}41 + 1{,}62 + 3{,}79}{8} =\dfrac{5{,}82}{8}=0{,}7275.
Arredondando: y^{(3)}=0{,}73.
  1. z^{(3)} usando x^{(3)} e y^{(3)}:
z^{(3)}=\dfrac{5{,}81 - 2x^{(3)} + 2y^{(3)}}{8} =\dfrac{5{,}81 - 2\cdot0{,}41 + 2\cdot0{,}73}{8} =\dfrac{5{,}81 - 0{,}82 + 1{,}46}{8} =\dfrac{6{,}45}{8}=0{,}80625.
Arredondando: z^{(3)}=0{,}81.
  1. Erro:
\mathrm{Erro}^{(3)}=\left|x^{(3)}-x^{(2)}\right|=\left|0{,}41-0{,}39\right|=0{,}02.
Resumo da iteração 3:
x^{(3)}=0{,}41,\qquad y^{(3)}=0{,}73,\qquad z^{(3)}=0{,}81,\qquad \mathrm{Erro}^{(3)}=0{,}02.

Passo 6

Tabela resumo das iterações (cada linha: iteração — x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)} \mathrm{Erro}^{(k)} com \mathrm{Erro}^{(k)}=\left|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right|):
Iteração 0: x^{(0)}=0{,}00,\;y^{(0)}=0{,}00,\;z^{(0)}=0{,}00,\; \mathrm{Erro}^{(0)}= não aplicável.
Iteração 1: x^{(1)}=0{,}43,\;y^{(1)}=0{,}53,\;z^{(1)}=0{,}75,\; \mathrm{Erro}^{(1)}=0{,}43.
Iteração 2: x^{(2)}=0{,}39,\;y^{(2)}=0{,}71,\;z^{(2)}=0{,}81,\; \mathrm{Erro}^{(2)}=0{,}04.
Iteração 3: x^{(3)}=0{,}41,\;y^{(3)}=0{,}73,\;z^{(3)}=0{,}81,\; \mathrm{Erro}^{(3)}=0{,}02.

Resposta

Iteração 1: x^{(1)}=0{,}43,\;y^{(1)}=0{,}53,\;z^{(1)}=0{,}75,\; \mathrm{Erro}^{(1)}=0{,}43
Iteração 2: x^{(2)}=0{,}39,\;y^{(2)}=0{,}71,\;z^{(2)}=0{,}81,\; \mathrm{Erro}^{(2)}=0{,}04
Iteração 3: x^{(3)}=0{,}41,\;y^{(3)}=0{,}73,\;z^{(3)}=0{,}81,\; \mathrm{Erro}^{(3)}=0{,}02

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