a.) Exibir os cálculos detalhados dos valores de x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)} e erro { }^{(k)} encontrados nas iterações.
b.) Realize 03 (três iterações).
c.) Fazer uma tabela resumo exibindo iteração, valores das componentes das aproximações do vetor solução e estimativa do erro: \mathrm{Erro}^{(k)}=\left|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right|.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear e pede para resolver pelo método de Gauss–Seidel, com arredondamento a 2 casas decimais, partindo de [S{(0)}=(x{(0)}=0,;y{(0)}=0,;z{(0)}=0)) e realizando 03 iterações. As equações são (peguei todos os números do enunciado):
\begin{cases} 5x - y + z = 2{,}17,\\[4pt] x - 8y + 2z = -3{,}79,\\[4pt] 2x - 2y + 8z = 5{,}81. \end{cases}
O que preciso entregar:
(a) os cálculos detalhados dos x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)}\] e o erro \(\mathrm{Erro}^{(k)} encontrados em cada iteração (usar 2 casas decimais);
(b) realizar exatamente 3 iterações;
(c) uma tabela resumo com a iteração, os componentes x^{(k)},y^{(k)},z^{(k)} e a estimativa do erro \mathrm{Erro}^{(k)}=\left|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right|.]
Passo 2
Explicação do método Gauss–Seidel (passo-a-passo curto e prático para a prova).
Ideia: isolam-se as variáveis em cada equação e atualiza-se cada variável usando os valores mais recentes já calculados na mesma iteração. Isso costuma convergir mais rápido que Jacobi.
Para este sistema, isolamos x,\;y,\;z das equações:
Da primeira equação:
5x - y + z = 2{,}17 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{2{,}17 + y - z}{5}.
Regra prática para iterações (Gauss–Seidel): ao calcular x^{(k)} usa-se y^{(k-1)},z^{(k-1)}; ao calcular y^{(k)} usa-se x^{(k)} (já atualizado) e z^{(k-1)}; ao calcular z^{(k)} usa-se x^{(k)} e y^{(k)} (ambos já atualizados nesta iteração). Em cada atualização, os valores serão arredondados a 2 casas decimais (conforme o enunciado), pois isso é pedido explicitamente.
Vou fazer 3 iterações completas e em cada operação mostro a conta e o arredondamento.
Passo 3
Iteração k=1. Partimos de x^{(0)}=0,\;y^{(0)}=0,\;z^{(0)}=0.