\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\lambda(\lambda+1) y=0
onde y(x) está definida em x \in[-1,1]. Para resolver a equação em x_{0}=1 usando o método de Frobenius siga os passos abaixo:
(a) Classifique o ponto x_{0}=1.
(b) Usando a série de Frobenius, encontre o polinômio indicial e suas raízes.
(c) Encontre a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius.
(d) Resolva a relação de recorrência para encontrar a primeira soluçāo.
(e) Descreva como encontrar a segunda solução linearmente independente.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Legendre
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+\lambda(\lambda+1) y=0,
com y(x) definida em x\in[-1,1], e pede, para resolver em x_{0}=1 pelo método de Frobenius, o seguinte:
(a) classificar o ponto x_{0}=1;
(b) assumir uma série de Frobenius em torno de x=1 e encontrar o polinômio indicial e suas raízes;
(c) encontrar a relação de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius;
(d) resolver essa relação de recorrência para obter a primeira solução;
(e) descrever como obter a segunda solução linearmente independente.
As informações relevantes dadas pelo enunciado: a equação diferencial linear de segunda ordem com parâmetro \lambda, domínio que inclui x=1 e pedido explícito para aplicar o método de Frobenius em torno de x_{0}=1. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Classificação do ponto x_{0}=1.
Para classificar, primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0: dividindo tudo por 1-x^{2} obtemos
Observa-se que 1-x^{2}=0 em x=\pm1, logo x=1 é singular. Agora verificamos se é singular regular: precisamos checar se (x-1)p(x) e (x-1)^{2}q(x) são analíticas (finito) em x=1.
Substituindo na equação original (usando a expressão de 1-x^{2} e x=1+s) e agrupando termos em potências de s^{n+r-1} e s^{n+r}, obtém-se (apresento os passos principais):
O termo de menor potência é s^{r-1}, que surge apenas do primeiro tipo (com n=0). Coeficiente de s^{r-1}:
-2a_{0}r^{2}=0.
Como a_{0}\neq0, o polinômio indicial é (proporcional a)
-2r^{2}=0,
daí as raízes:
r^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad r_{1}=0,\; r_{2}=0,
ou seja, raiz dupla r=0.
Passo 4
Determinação da relação de recorrência (passo algébrico detalhado).
Para obter a recorrência consideramos a condição de coeficiente nulo para a potência s^{n+r} (com n\ge0), combinando o termo vindo do deslocamento da soma em s^{n+r-1}. Fazendo o deslocamento de índice e igualando a zero, chega-se à relação
Para \lambda=\ell inteiro não-negativo (\ell=0,1,2,\dots) a fator \lambda(\lambda+1)-k(k+1) zera quando k=\ell. Logo a_{\ell+1}=0 e todos os coeficientes seguintes são zero: a série truncará e y_{1} será um polinômio de grau \ell. Esse polinômio é, até normalização, o polinômio de Legendre P_{\ell}(x).
Para \lambda genérico não inteiro a série é infinita e y_{1} é a solução analítica (regular) em x=1.
Exemplo concreto curto (para intuir): se \lambda=1 então \lambda(\lambda+1)=2. A recorrência dá a_{1}=2/2\cdot a_{0}=a_{0}, e para n=1 o numerador \lambda(\lambda+1)-1\cdot2=2-2=0 implica a_{2}=0 e truncamento: solução é polinomial de grau 1 (proporcional a x — o P_{1}).
Passo 6
Como obter a segunda solução linearmente independente.
Como as raízes indiciales coincidem (r_{1}=r_{2}=0), a teoria dos pontos singulares regulares diz que a segunda solução geralmente envolve um termo logarítmico. Há duas formas-padrão de obtê-la:
Método de Frobenius com termo logarítmico. Procurar
substituir na equação e determinar os coeficientes b_{n} e a constante C. Ao fazer isso, aparecem equações lineares para os b_{n} que permitem construir a série que acompanha o \ln. Esse procedimento revela que y_{2} tem singularidade logarítmica em x=1 (exceto nos casos especiais em que o log some, que aqui não acontece para solução independente).
Redução de ordem (mais direto usando a solução y_{1}). Se y_{1} é conhecida, uma fórmula para uma segunda solução é
onde p(x) é o coeficiente de y' na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Aqui, lembrando p(x)= -\dfrac{2x}{1-x^{2}}=\dfrac{2x}{(x-1)(x+1)}, pode-se decompor em frações parciais:
A integral tem comportamento logarítmico perto de t=1, o que produz a forma típica da segunda solução (a função de segunda espécie de Legendre Q_{\lambda}(x) tem esse tipo de singularidade, com termo em \ln(1-x) quando expandida em torno de x=1). Portanto y_{2} obtida assim é a solução linearmente independente de y_{1}, com singularidade logarítmica em x=1 (salvo casos especiais).
Resumo prático para a prova:
use a recorrência com r=0 para construir y_{1} (escolha a_{0}=1 e calcule a_{n});
se \lambda=\ell\in\mathbb{N} a série truncará e y_{1} é polinomial (P_{\ell});
para a segunda solução use redução de ordem ou a ansatz com \ln(x-1); o segundo membro é tipicamente a função Q_{\lambda}, singular em x=1.
Para \lambda=\ell\in\mathbb{N} a série truncará e y_{1} será o polinômio de Legendre P_{\ell}(x).
(e) Segunda solução: como as raízes indiciales coincidem, a segunda solução independente contém um termo logarítmico. Pode-se obtê‑la por Frobenius com ansatz