Considere a equação de Bessel:
(a) Classifique o ponto
e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
(b) Explique como encontrar a segunda solução linearmente independente, nāo é necessário resolver a equaçāo.
i.
é um número inteiro.
ii.
.
iii.
é semi-inteiro.
(b) Explique como encontrar a segunda solução linearmente independente, nāo é necessário resolver a equaçāo.
i.
ii.
iii.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Bessel
e pede duas coisas:
- (a) classificar o ponto
e encontrar a primeira solução na forma de Frobenius; - (b) explicar como obter uma segunda solução linearmente independente nos três casos indicados:
i.inteiro;
ii.;
iii.semi-inteiro.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a equação é a equação de Bessel ordinária de ordem
; não foram dados valores numéricos para
, por isso as respostas devem ser em termos de
. A solução pedida no item (a) deve ser obtida por Frobenius (série do tipo
).
Passo 2
Classificação do ponto
.
Para classificar, escrevo a equação na forma padrão
dividindo por
. Obtém-se
Verifico os produtos
e
:
Ambas as funções são analíticas (holomorfas) em
como séries em
(no senso de funções de
—
é constante e
é polinômio). Portanto
é um ponto singular regular (regular singular point). Isso significa que o método de Frobenius se aplica: procuramos soluções da forma
, com
.
Passo 3
Aplicando a ansatz de Frobenius e obtendo a equação indicial.
Escrevo
então
Substituo na equação original. Os termos com mesma potência
se combinam e dão, para cada
,
onde por convensão
. Em particular, para
surge a equação indicial
Como
, a equação indicial é
Portanto as raízes são
Passo 4
Recorrência para os coeficientes (derivação explícita).
A relação de recorrência obtida acima pode ser escrita, para
, como
Nota importante: essa recorrência separa os termos pares e ímpares — os coeficientes com índices de mesma paridade se relacionam entre si, e os da outra paridade ficam independentes (ou nulos dependendo de condições iniciais). Além disso, para
obtemos
logo, salvo casos degenerados (
), tipicamente
. Assim, escolhendo
e
gera uma solução com apenas potências de mesma paridade (a solução “par” em torno da raiz escolhida).
Passo 5
Construção da primeira solução escolhendo
: série de Frobenius e identificação com
.
Escolho a raiz
(esta escolha é a que dá a solução de ordem
regular na origem quando
). Tomando
arbitrário e impondo
(caso típico), a recorrência para os coeficientes pares
(com
) é
Iterando essa relação e simplificando, chega-se à forma fechada (escolhendo a normalização padrão
que é conveniente):
Multiplicando o fator
para dentro da soma, obtém-se a forma clássica
Esta série, até uma constante multiplicativa, é a função de Bessel de primeira espécie
. Em particular, a primeira solução regular em zero (na normalização padrão) é
Observação prática para prova: dar os primeiros termos para checar o comportamento na origem:
Isso mostra claramente que
quando
.
Passo 6
Discussão geral de existência de segunda solução linearmente independente — ideias principais (sem resolver explicitamente).
Pelo teorema de Frobenius: as duas raízes da indicial são
e
. A natureza da segunda solução depende da diferença
:
- Se
(diferença não inteira), então as duas soluções obtidas pelas raízes são linearmente independentes e ambas séries de Frobenius funcionam. No caso de Bessel, as duas soluções são (até constantes) e . - Se
(diferença inteira), o caso degenerado clássico ocorre: a solução associada à menor raiz pode envolver um termo logarítmico multiplicado por uma série (ou a segunda solução pode ser obtida por um processo limite). Em Bessel isso acontece especialmente quando é inteiro, mas também quando é inteiro (por exemplo semi-inteiro); a forma exata do segundo membro depende de e pode ser obtida por redução de ordem ou por limite de combinações de quando .
Ferramentas concretas para construir a segunda solução quando necessário:
- Redução de ordem: dada uma solução
, a segunda solução pode ser obtida por
onde
é o coeficiente de
na forma padrão
. No caso de Bessel isso leva normalmente a integrais que produzem termos logarítmicos quando
.
- Fórmula de combinação-limite (usada para definir a função de Neumann
): para ,
Essa expressão fornece uma função linearmente independente de
. Quando
tende a um inteiro, o denominador
tende a zero e a expressão tem um limite que envolve termos em
; esse limite define
(função de Bessel de segunda espécie ou função de Neumann) para
.
Passo 7
Caso (ii): quando
(raízes não diferem por inteiro) — resposta operacional.
Neste caso as duas soluções de Frobenius associadas às raízes
são ambas válidas e são linearmente independentes. As duas soluções canônicas são
Estas duas são independentes porque
não é tal que
seja proporcional a
.
Passo 8
Caso (i):
inteiro — o que acontece e como obter a segunda solução.
Se
então
é inteiro. Além disso, há a relação especial para funções de Bessel:
ou seja,
não é independente de
. Portanto não há duas soluções independentes simplesmente
e
. A segunda solução linearmente independente é a função de Neumann
(também chamada de
ou função de Bessel de segunda espécie). Ela pode ser obtida por redução de ordem ou pelo limite da combinação anterior:
A função
possui comportamento logarítmico na vizinhança de zero: tipicamente inclui termos
multiplicando séries em potências de
. Assim, para
inteiro, uma base de soluções é
, e
contém termos logarítmicos.
Passo 9
Caso (iii):
semi-inteiro (meio-inteiro) — especialidades e formas elementares.
Se
com
(ou seja
semi-inteiro), então
e a situação é da classe “diferença inteira”. Contudo, Bessel para ordens semi-inteiras tem fórmulas fechadas simples em termos de funções trigonométricas. Exemplos clássicos:
Em geral, para
, as soluções podem ser escritas como combinações racionais em
multiplicadas por
e
(são as chamadas funções de Bessel esféricas relacionadas às funções esféricas de Hankel). Portanto, quando
é semi-inteiro, obtém-se duas soluções independentes expressáveis por combinações elementares (sem necessidade de termos logaritmos na forma final): por exemplo
e
correspondem a
; para ordens semi-inteiras superiores há polinômios em
multiplicando
e
.
Resumo heurístico: embora
seja inteiro aqui, a estrutura especial das funções de Bessel para ordens semi-inteiras elimina a necessidade de termos logaritmos nas expressões finais, e as duas soluções independentes são expressíveis por funções trigonométricas/polinomiais sobre
.
Passo 10
Breve observação prática para a prova e como aplicar tudo isso rapidamente.
- Classifique o ponto por verificar
e (se analíticos → singular regular). - Faça a ansatz de Frobenius, encontre a indicial
e as raízes . - Escreva a recorrência
e observe a separação pares/ímpares. - Para a primeira solução escolha
e recupere a série padrão que define . - Para a segunda solução: verifique se
é inteiro. Se não for, use . Se for inteiro use a função de Neumann (obtida por limite ou redução de ordem — contém quando é inteiro). Se é semi-inteiro, use as fórmulas elementares em termos de e (sem termos logarítmicos finais).
Força aí — com estes passos dá pra reproduzir a derivação na prova: obtenha a indicial, escreva a recorrência e identifique
para garantir a primeira solução; depois analise a diferença das raízes para decidir a construção da segunda solução.
Resposta
(a)
é um ponto singular regular. A primeira solução (normalizada) por Frobenius é a função de Bessel de primeira espécie
que satisfaz
quando
.
(b) i. Se
:
não é independente de
(
). A segunda solução linearmente independente é a função de Neumann
, obtida por limite ou redução de ordem;
contém termos logarítmicos perto de
.
ii. Se
: as duas soluções de Frobenius são independentes e podem ser tomadas como
e
.
iii. Se
é semi-inteiro (
): as soluções podem ser escritas em forma elementar envolvendo
e
multiplicadas por potências/radicais de
(por exemplo
,
); portanto obtêm-se duas soluções independentes sem necessidade de termos logarítmicos.