Considere a equação de Bessel:
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\nu^{2}\right) y=0 .
(a) Classifique o ponto x_{0}=0 e encontre a primeira solução na forma de Frobenius.
(b) Explique como encontrar a segunda solução linearmente independente, nāo é necessário resolver a equaçāo.
i. \nu é um número inteiro.
ii. 2 \nu \notin \mathbb{Z}.
iii. \nu é semi-inteiro.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bessel
x^{2}y''+x y'+(x^{2}-\nu^{2})y=0
e pede duas coisas:
  • (a) classificar o ponto x_{0}=0 e encontrar a primeira solução na forma de Frobenius;
  • (b) explicar como obter uma segunda solução linearmente independente nos três casos indicados:
    i. \nu inteiro;
    ii. 2\nu\notin\mathbb{Z};
    iii. \nu semi-inteiro.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a equação é a equação de Bessel ordinária de ordem \nu; não foram dados valores numéricos para \nu, por isso as respostas devem ser em termos de \nu. A solução pedida no item (a) deve ser obtida por Frobenius (série do tipo x^{r}\sum a_k x^k).

Passo 2

Classificação do ponto x_0=0.
Para classificar, escrevo a equação na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0
dividindo por x^{2}. Obtém-se
p(x)=\frac{1}{x},\qquad q(x)=1-\frac{\nu^{2}}{x^{2}}.
Verifico os produtos x p(x) e x^{2} q(x):
x p(x)=1,\qquad x^{2} q(x)=x^{2}-\nu^{2}.
Ambas as funções são analíticas (holomorfas) em x=0 como séries em x (no senso de funções de x x p(x) é constante e x^{2}q(x) é polinômio). Portanto x=0 é um ponto singular regular (regular singular point). Isso significa que o método de Frobenius se aplica: procuramos soluções da forma y(x)=x^{r}\sum_{k=0}^{\infty}a_k x^{k}, com a_0\neq0.

Passo 3

Aplicando a ansatz de Frobenius e obtendo a equação indicial.
Escrevo
y(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k x^{k+r},\qquad a_0\neq0,
então
y'(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)a_k x^{k+r-1},\qquad y''(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)(k+r-1)a_k x^{k+r-2}.
Substituo na equação original. Os termos com mesma potência x^{k+r} se combinam e dão, para cada k\ge0,
\big((k+r)^2-\nu^2\big)a_k + a_{k-2}=0,
onde por convensão a_{-1}=a_{-2}=0. Em particular, para k=0 surge a equação indicial
(r^2-\nu^2)a_0=0.
Como a_0\neq0, a equação indicial é
r^2-\nu^2=0.
Portanto as raízes são
r_1=+\nu,\qquad r_2=-\nu.

Passo 4

Recorrência para os coeficientes (derivação explícita).
A relação de recorrência obtida acima pode ser escrita, para k\ge2, como
a_k = -\frac{a_{k-2}}{(k+r)^2-\nu^2}.
Nota importante: essa recorrência separa os termos pares e ímpares — os coeficientes com índices de mesma paridade se relacionam entre si, e os da outra paridade ficam independentes (ou nulos dependendo de condições iniciais). Além disso, para k=1 obtemos
\big((1+r)^2-\nu^2\big)a_1=0,
logo, salvo casos degenerados ( (1+r)^2=\nu^2), tipicamente a_1=0. Assim, escolhendo a_0\neq0 e a_1=0 gera uma solução com apenas potências de mesma paridade (a solução “par” em torno da raiz escolhida).

Passo 5

Construção da primeira solução escolhendo r=\nu: série de Frobenius e identificação com J_{\nu}.
Escolho a raiz r=\nu (esta escolha é a que dá a solução de ordem \nu regular na origem quando \Re(\nu)\ge0). Tomando a_0 arbitrário e impondo a_1=0 (caso típico), a recorrência para os coeficientes pares a_{2m} (com m\ge1) é
a_{2m} = -\frac{a_{2m-2}}{(2m+\nu)^2-\nu^2} = -\frac{a_{2m-2}}{4m(m+\nu)}.
Iterando essa relação e simplificando, chega-se à forma fechada (escolhendo a normalização padrão a_0=\dfrac{1}{2^{\nu}\Gamma(\nu+1)} que é conveniente):
y_{1}(x)=a_0 x^{\nu}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m}.
Multiplicando o fator x^{\nu} para dentro da soma, obtém-se a forma clássica
y_{1}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}.
Esta série, até uma constante multiplicativa, é a função de Bessel de primeira espécie J_{\nu}(x). Em particular, a primeira solução regular em zero (na normalização padrão) é
J_{\nu}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}.
Observação prática para prova: dar os primeiros termos para checar o comportamento na origem:
J_{\nu}(x)=\frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{\nu}\Big(1-\frac{x^{2}}{2( \nu+1)}+\cdots\Big).
Isso mostra claramente que J_{\nu}(x)\sim C x^{\nu} quando x\to0.

Passo 6

Discussão geral de existência de segunda solução linearmente independente — ideias principais (sem resolver explicitamente).
Pelo teorema de Frobenius: as duas raízes da indicial são r_1=\nu e r_2=-\nu. A natureza da segunda solução depende da diferença r_1-r_2=2\nu:
  • Se 2\nu\notin\mathbb{Z} (diferença não inteira), então as duas soluções obtidas pelas raízes são linearmente independentes e ambas séries de Frobenius funcionam. No caso de Bessel, as duas soluções são (até constantes) J_{\nu}(x) e J_{-\nu}(x).
  • Se 2\nu\in\mathbb{Z} (diferença inteira), o caso degenerado clássico ocorre: a solução associada à menor raiz pode envolver um termo logarítmico multiplicado por uma série (ou a segunda solução pode ser obtida por um processo limite). Em Bessel isso acontece especialmente quando \nu é inteiro, mas também quando 2\nu é inteiro (por exemplo \nu semi-inteiro); a forma exata do segundo membro depende de \nu e pode ser obtida por redução de ordem ou por limite de combinações de J_{\mu} quando \mu\to\nu.
Ferramentas concretas para construir a segunda solução quando necessário:
  • Redução de ordem: dada uma solução y_1, a segunda solução pode ser obtida por
y_2(x)=y_1(x)\int^{x}\frac{e^{-\int p(t)\,dt}}{y_1(t)^2}\,dt,
onde p(t) é o coeficiente de y' na forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=0. No caso de Bessel isso leva normalmente a integrais que produzem termos logarítmicos quando 2\nu\in\mathbb{Z}.
  • Fórmula de combinação-limite (usada para definir a função de Neumann Y_{\nu}): para \nu\notin\mathbb{Z},
Y_{\nu}(x)=\frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}.
Essa expressão fornece uma função linearmente independente de J_{\nu}. Quando \nu tende a um inteiro, o denominador \sin(\nu\pi) tende a zero e a expressão tem um limite que envolve termos em \ln x; esse limite define Y_{n} (função de Bessel de segunda espécie ou função de Neumann) para \nu=n\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Caso (ii): quando 2\nu\notin\mathbb{Z} (raízes não diferem por inteiro) — resposta operacional.
Neste caso as duas soluções de Frobenius associadas às raízes r=\pm\nu são ambas válidas e são linearmente independentes. As duas soluções canônicas são
J_{\nu}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu},
J_{-\nu}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m-\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m-\nu}.
Estas duas são independentes porque \nu não é tal que J_{-\nu} seja proporcional a J_{\nu}.

Passo 8

Caso (i): \nu inteiro — o que acontece e como obter a segunda solução.
Se \nu=n\in\mathbb{Z} então r_1-r_2=2n é inteiro. Além disso, há a relação especial para funções de Bessel:
J_{-n}(x)=(-1)^n J_{n}(x),
ou seja, J_{-n} não é independente de J_n. Portanto não há duas soluções independentes simplesmente J_n e J_{-n}. A segunda solução linearmente independente é a função de Neumann Y_n(x) (também chamada de N_n(x) ou função de Bessel de segunda espécie). Ela pode ser obtida por redução de ordem ou pelo limite da combinação anterior:
Y_n(x)=\lim_{\mu\to n}\frac{J_{\mu}(x)\cos(\mu\pi)-J_{-\mu}(x)}{\sin(\mu\pi)}.
A função Y_n possui comportamento logarítmico na vizinhança de zero: tipicamente inclui termos \ln x multiplicando séries em potências de x. Assim, para \nu inteiro, uma base de soluções é \{J_n(x),\,Y_n(x)\}, e Y_n contém termos logarítmicos.

Passo 9

Caso (iii): \nu semi-inteiro (meio-inteiro) — especialidades e formas elementares.
Se \nu=m+\tfrac{1}{2} com m\in\mathbb{Z} (ou seja \nu semi-inteiro), então 2\nu\in\mathbb{Z} e a situação é da classe “diferença inteira”. Contudo, Bessel para ordens semi-inteiras tem fórmulas fechadas simples em termos de funções trigonométricas. Exemplos clássicos:
J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x,\qquad J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x.
Em geral, para \nu=n+\tfrac{1}{2}, as soluções podem ser escritas como combinações racionais em x multiplicadas por \sin x e \cos x (são as chamadas funções de Bessel esféricas relacionadas às funções esféricas de Hankel). Portanto, quando \nu é semi-inteiro, obtém-se duas soluções independentes expressáveis por combinações elementares (sem necessidade de termos logaritmos na forma final): por exemplo \sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\sin x e \sqrt{\dfrac{2}{\pi x}}\cos x correspondem a \nu=\pm\tfrac{1}{2}; para ordens semi-inteiras superiores há polinômios em 1/x multiplicando \sin x e \cos x.
Resumo heurístico: embora 2\nu seja inteiro aqui, a estrutura especial das funções de Bessel para ordens semi-inteiras elimina a necessidade de termos logaritmos nas expressões finais, e as duas soluções independentes são expressíveis por funções trigonométricas/polinomiais sobre \sqrt{x}.

Passo 10

Breve observação prática para a prova e como aplicar tudo isso rapidamente.
  • Classifique o ponto por verificar x p(x) e x^{2} q(x) (se analíticos → singular regular).
  • Faça a ansatz de Frobenius, encontre a indicial r^{2}-\nu^{2}=0 e as raízes r=\pm\nu.
  • Escreva a recorrência \;a_k=-a_{k-2}/\big((k+r)^2-\nu^2\big)\; e observe a separação pares/ímpares.
  • Para a primeira solução escolha r=\nu e recupere a série padrão que define J_{\nu}(x).
  • Para a segunda solução: verifique se 2\nu é inteiro. Se não for, use J_{-\nu}. Se for inteiro use a função de Neumann Y_\nu (obtida por limite ou redução de ordem — contém \ln x quando \nu é inteiro). Se \nu é semi-inteiro, use as fórmulas elementares em termos de \sin e \cos (sem termos logarítmicos finais).
Força aí — com estes passos dá pra reproduzir a derivação na prova: obtenha a indicial, escreva a recorrência e identifique J_{\nu} para garantir a primeira solução; depois analise a diferença das raízes para decidir a construção da segunda solução.

Resposta

(a) x_{0}=0 é um ponto singular regular. A primeira solução (normalizada) por Frobenius é a função de Bessel de primeira espécie
J_{\nu}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu},
que satisfaz J_{\nu}(x)\sim \dfrac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{\nu} quando x\to0.
(b) i. Se \nu=n\in\mathbb{Z}: J_{-n} não é independente de J_{n} ( J_{-n}=(-1)^n J_n). A segunda solução linearmente independente é a função de Neumann Y_n(x), obtida por limite ou redução de ordem; Y_n contém termos logarítmicos perto de x=0.
ii. Se 2\nu\notin\mathbb{Z}: as duas soluções de Frobenius são independentes e podem ser tomadas como J_{\nu}(x) e J_{-\nu}(x).
iii. Se \nu é semi-inteiro ( \nu=m+\tfrac12): as soluções podem ser escritas em forma elementar envolvendo \sin x e \cos x multiplicadas por potências/radicais de x (por exemplo J_{1/2}(x)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\sin x, J_{-1/2}(x)=\sqrt{\tfrac{2}{\pi x}}\cos x); portanto obtêm-se duas soluções independentes sem necessidade de termos logarítmicos.

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