A equação 2 x \cos (2 x)-(x+1)^{2}=0 possui raízes nos intervalos [-3,-2] e [-1,0]. Use o método da bissecção para aproximar ambas as raízes com tolerância 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
f(x)=2x\cos(2x)-(x+1)^{2}=0
e informa que existem raízes nos intervalos [-3,-2] e [-1,0]. Pede-se: aproximar ambas as raízes usando o método da bissecção com tolerância 10^{-4}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=2x\cos(2x)-(x+1)^{2}.
  • Há uma raiz em [-3,-2].
  • Há outra raiz em [-1,0].
  • A tolerância exigida para a aproximação da raiz é 10^{-4} (erro absoluto máximo permitido).

Passo 2

O que é o método da bissecção e como vamos usá-lo (explicação didática):
  • O método da bissecção exige um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0). A garantia vem do Teorema do Valor Intermediário: se f é contínua em [a,b] e trocam de sinal, existe pelo menos uma raiz no intervalo.
  • A cada iteração calculamos o ponto médio m=(a+b)/2 e avaliamos f(m). Se f(m)=0 paramos. Se f(m) tem o mesmo sinal que f(a), substituímos a por m; caso contrário substituímos b por m. Assim reduzimos o intervalo pela metade a cada iteração.
  • Erro garantido: após n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n} e o erro no ponto médio m satisfaz |m-\xi|\le (b-a)/2^{n+1} (onde \xi é a raiz). Para obter erro \le tolerância T requer-se 2^{n+1}\ge (b-a)/T ou, de forma prática, escolhemos n tal que (b-a)/2^{n+1}\le T. Com (b-a)=1 (nos intervalos dados) obtemos n\ge 13 (pois 1/2^{14}<10^{-4} e 1/2^{13+1}=1/2^{14}<10^{-4} — de modo prático 13 iterações garantem o critério).
  • Critério de parada que vou usar: parar quando (b-a)/2\le 10^{-4} (equivalente à condição explicada acima).
Agora aplico o método em cada intervalo, passo a passo e mostrando os valores de a, b, m e f(m).

Passo 3

Preparação: escrevo a função explicitamente para usar nas avaliações
f(x)=2x\cos(2x)-(x+1)^{2}.
Vou avaliar numericamente f(x) nos pontos necessários. Sempre que eu usar um valor numérico, ele está calculado com precisão suficiente para decidir o sinal e manter o erro final dentro da tolerância pedida.
Aplicação no intervalo [-3,-2]:
  • Valores iniciais: a_0=-3, b_0=-2.
  • Avaliações iniciais (usadas para confirmar troca de sinais): f(-3)=2(-3)\cos(-6)-(-3+1)^2=-6\cos(6)-4\approx -9{,}76102172\\ (<0),
f(-2)=2(-2)\cos(-4)-(-2+1)^2=-4\cos(4)-1\approx 1{,}61457448\\ (>0).
Portanto há troca de sinal e podemos aplicar bissecção.

Passo 4

Iterações da bissecção para o intervalo [-3,-2] (cada linha: iteração, [a,b], m, f(m) e decisão):
  1. [a,b]=[-3,-2], m=-2{,}5, f(m)\approx -3{,}66831093 \Rightarrow f(m)<0 \Rightarrow novo intervalo [-2{,}5,-2].
  2. [a,b]=[-2{,}5,-2], m=-2{,}25, f(m)\approx -0{,}61391890 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-2{,}25,-2].
  3. [a,b]=[-2{,}25,-2], m=-2{,}125, f(m)\approx 0{,}62887500 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-2{,}25,-2{,}125].
  4. [a,b]=[-2{,}25,-2{,}125], m=-2{,}1875, f(m)\approx 0{,}038240 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-2{,}25,-2{,}1875].
  5. [a,b]=[-2{,}25,-2{,}1875], m=-2{,}21875, f(m)\approx -0{,}281750 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-2{,}21875,-2{,}1875].
  6. [a,b]=[-2{,}21875,-2{,}1875], m=-2{,}203125, f(m)\approx -0{,}118742 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-2{,}203125,-2{,}1875].
  7. [a,b]=[-2{,}203125,-2{,}1875], m=-2{,}1953125, f(m)\approx -0{,}039300 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-2{,}1953125,-2{,}1875].
  8. [a,b]=[-2{,}1953125,-2{,}1875], m=-2{,}19140625, f(m)\approx -0{,}002200 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-2{,}19140625,-2{,}1875].
  9. [a,b]=[-2{,}19140625,-2{,}1875], m=-2{,}189453125, f(m)\approx 0{,}017200 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-2{,}19140625,-2{,}189453125].
  10. [a,b]=[-2{,}19140625,-2{,}189453125], m=-2{,}1904296875, f(m)\approx 0{,}008966 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-2{,}19140625,-2{,}1904296875].
  11. [a,b]=[-2{,}19140625,-2{,}1904296875], m=-2{,}19091796875, f(m)\approx 0{,}002340 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-2{,}19140625,-2{,}19091796875].
  12. [a,b]=[-2{,}19140625,-2{,}19091796875], m=-2{,}191162109375, f(m)\approx 0{,}000630 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-2{,}19140625,-2{,}191162109375].
  13. [a,b]=[-2{,}19140625,-2{,}191162109375], m=-2{,}1912841796875, f(m)\approx -0{,}000785 (aprox.) \Rightarrow <0.
Após esta 13ª iteração o intervalo com troca de sinal é
[a,b]=[-2{,}1912841796875,\\\ -2{,}191162109375],
com comprimento b-a=0{,}0001220703125. O erro garantido ao tomar o ponto médio é (b-a)/2=6{,}103515625\times10^{-5}, que é menor que 10^{-4}. Assim podemos parar e tomar o ponto médio desse intervalo como aproximação da raiz.

Passo 5

Cálculo do valor aproximado da raiz no intervalo [-3,-2] (resultado do passo anterior):
  • Ponto médio final
m=\frac{-2{,}1912841796875+(-2{,}191162109375)}{2}=-2{,}19122314453125.
Esta aproximação satisfaz |m-\xi|\le 6{,}1035\times10^{-5}<10^{-4}.

Passo 6

Agora aplico o mesmo procedimento para o intervalo [-1,0].
Avaliações iniciais:
f(-1)=2(-1)\cos(-2)-(-1+1)^2=-2\cos(2)\approx 0{,}83229367\\ (>0),
f(0)=2\cdot0\cdot\cos0-(0+1)^2=-1\\ (<0).
Há troca de sinais, podemos usar bissecção.

Passo 7

Iterações da bissecção para [-1,0] (cada linha: iteração, [a,b], m, f(m) e decisão):
  1. [a,b]=[-1,0], m=-0{,}5, f(m)\approx -0{,}79030231 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-1,-0{,}5].
  2. [a,b]=[-1,-0{,}5], m=-0{,}75, f(m)\approx -0{,}168606 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-1,-0{,}75].
  3. [a,b]=[-1,-0{,}75], m=-0{,}875, f(m)\approx 0{,}295806 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-0{,}875,-0{,}75].
  4. [a,b]=[-0{,}875,-0{,}75], m=-0{,}8125, f(m)\approx 0{,}0533837 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-0{,}8125,-0{,}75].
  5. [a,b]=[-0{,}8125,-0{,}75], m=-0{,}78125, f(m)\approx -0{,}06081 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-0{,}8125,-0{,}78125].
  6. [a,b]=[-0{,}8125,-0{,}78125], m=-0{,}796875, f(m)\approx -0{,}004699 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-0{,}8125,-0{,}796875].
  7. [a,b]=[-0{,}8125,-0{,}796875], m=-0{,}8046875, f(m)\approx 0{,}02389 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-0{,}8046875,-0{,}796875].
  8. [a,b]=[-0{,}8046875,-0{,}796875], m=-0{,}80078125, f(m)\approx 0{,}00955 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-0{,}80078125,-0{,}796875].
  9. [a,b]=[-0{,}80078125,-0{,}796875], m=-0{,}798828125, f(m)\approx 0{,}00164 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-0{,}798828125,-0{,}796875].
  10. [a,b]=[-0{,}798828125,-0{,}796875], m=-0{,}7978515625, f(m)\approx -0{,}000797 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-0{,}798828125,-0{,}7978515625].
  11. [a,b]=[-0{,}798828125,-0{,}7978515625], m=-0{,}79833984375, f(m)\approx 0{,}000423 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-0{,}79833984375,-0{,}7978515625].
  12. [a,b]=[-0{,}79833984375,-0{,}7978515625], m=-0{,}798095703125, f(m)\approx -0{,}000188 \Rightarrow <0 \Rightarrow [-0{,}79833984375,-0{,}798095703125].
  13. [a,b]=[-0{,}79833984375,-0{,}798095703125], m=-0{,}7982177734375, f(m)\approx 0{,}0001175 \Rightarrow >0 \Rightarrow [-0{,}7982177734375,-0{,}798095703125].
Após a 13ª iteração o intervalo com troca de sinal é
[a,b]=[-0{,}7982177734375,\\\ -0{,}798095703125],
comprimento b-a=0{,}0001220703125 e erro garantido ao tomar o ponto médio igual a (b-a)/2=6{,}103515625\times10^{-5}<10^{-4}. Podemos então parar e tomar o ponto médio como aproximação.

Passo 8

Cálculo do valor aproximado da raiz no intervalo [-1,0] (resultado do passo anterior):
  • Ponto médio final
m=\frac{-0{,}7982177734375+(-0{,}798095703125)}{2}=-0{,}79815673828125.
Este valor satisfaz |m-\xi|\le 6{,}1035\times10^{-5}<10^{-4}.

Resposta

-2{,}19122314453125
-0{,}79815673828125

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