A equação
possui raízes nos intervalos
e
. Use o método da bissecção para aproximar ambas as raízes com tolerância
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e informa que existem raízes nos intervalos
e
. Pede-se: aproximar ambas as raízes usando o método da bissecção com tolerância
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - Há uma raiz em
. - Há outra raiz em
. - A tolerância exigida para a aproximação da raiz é
(erro absoluto máximo permitido).
Passo 2
O que é o método da bissecção e como vamos usá-lo (explicação didática):
- O método da bissecção exige um intervalo
tal que e tenham sinais opostos (ou seja, ). A garantia vem do Teorema do Valor Intermediário: se é contínua em e trocam de sinal, existe pelo menos uma raiz no intervalo. - A cada iteração calculamos o ponto médio
e avaliamos . Se paramos. Se tem o mesmo sinal que , substituímos por ; caso contrário substituímos por . Assim reduzimos o intervalo pela metade a cada iteração. - Erro garantido: após
iterações o comprimento do intervalo é e o erro no ponto médio satisfaz (onde é a raiz). Para obter erro tolerância requer-se ou, de forma prática, escolhemos tal que . Com (nos intervalos dados) obtemos (pois e — de modo prático 13 iterações garantem o critério). - Critério de parada que vou usar: parar quando
(equivalente à condição explicada acima).
Agora aplico o método em cada intervalo, passo a passo e mostrando os valores de
,
,
e
.
Passo 3
Preparação: escrevo a função explicitamente para usar nas avaliações
Vou avaliar numericamente
nos pontos necessários. Sempre que eu usar um valor numérico, ele está calculado com precisão suficiente para decidir o sinal e manter o erro final dentro da tolerância pedida.
Aplicação no intervalo
:
- Valores iniciais:
, . - Avaliações iniciais (usadas para confirmar troca de sinais):
Portanto há troca de sinal e podemos aplicar bissecção.
Passo 4
Iterações da bissecção para o intervalo
(cada linha: iteração,
,
,
e decisão):
-
, , novo intervalo . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , (aprox.) .
Após esta 13ª iteração o intervalo com troca de sinal é
com comprimento
. O erro garantido ao tomar o ponto médio é
, que é menor que
. Assim podemos parar e tomar o ponto médio desse intervalo como aproximação da raiz.
Passo 5
Cálculo do valor aproximado da raiz no intervalo
(resultado do passo anterior):
- Ponto médio final
Esta aproximação satisfaz
.
Passo 6
Agora aplico o mesmo procedimento para o intervalo
.
Avaliações iniciais:
Há troca de sinais, podemos usar bissecção.
Passo 7
Iterações da bissecção para
(cada linha: iteração,
,
,
e decisão):
-
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , . -
, , .
Após a 13ª iteração o intervalo com troca de sinal é
comprimento
e erro garantido ao tomar o ponto médio igual a
. Podemos então parar e tomar o ponto médio como aproximação.
Passo 8
Cálculo do valor aproximado da raiz no intervalo
(resultado do passo anterior):
- Ponto médio final
Este valor satisfaz
.