Determine, antes de iniciar as iterações, o número mínimo de passos do método da bissecção necessários para garantir uma aproximação da raiz de
no intervalo
com erro absoluto menor que
. Realize as iterações e verifique o resultado.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que sabemos:
- Pede: “Determinar, antes de iniciar as iterações, o número mínimo de passos do método da bissecção necessários para garantir uma aproximação da raiz de
no intervalo com erro absoluto menor que .” Depois: “Realize as iterações e verifique o resultado.” - Informações dadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância (erro máximo desejado):
. - Observação útil já calculável do enunciado:
e , então existe pelo menos uma raiz em e o método da bissecção pode ser aplicado (há troca de sinal).
- Função:
Passo 2
Teoria do método da bissecção — fórmula do número de iterações necessária (explicação didática).
- Em cada iteração da bissecção o comprimento do intervalo onde a raiz está é reduzido pela metade.
- Após
iterações o comprimento do intervalo é
- Se escolhermos como aproximação o ponto médio do intervalo obtido após
iterações, a máxima distância (erro absoluto) entre essa aproximação e a raiz real é no máximo metade do comprimento do intervalo final, ou seja
Explicando em palavras: o centro do intervalo está a uma distância no máximo metade do comprimento do intervalo final da raiz (porque a raiz está em algum ponto do intervalo).
- Para garantir erro absoluto menor que
basta impor
- Resolver essa desigualdade para
:
- Em muitos enunciados se usa a forma alternativa equivalente (obtida multiplicando por 2)
; aqui aplicamos a forma direta com o fator porque estamos usando o ponto médio como aproximação (isso é importante: se alguém usasse a extremidade do intervalo como aproximação haveria outra forma, mas a prática usual é tomar o ponto médio).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso numérico.
- Aqui
e . - Calcular o valor:
- Avaliando
. Usa-se a relação . Numericamente
logo
- O número mínimo inteiro de iterações é o teto (ceiling) desse valor, ou seja
- Interpretação prática: com
iterações o semi-comprimento (metade do comprimento do intervalo final) será
que é menor que
. Portanto 17 iterações bastam para garantir o erro pedido.
Passo 4
Comentário sobre a outra formula frequentemente usada (para evitar confusão):
- Algumas fontes usam a condição
. Essa condição corresponde a garantir que o comprimento total do intervalo final seja . Se se exige que o comprimento do intervalo final seja , então o número de iterações exigido seria
o que daria
. Mas como normalmente escolhemos como aproximação o ponto médio do intervalo final, a condição correta para o erro absoluto do ponto médio é a que usamos no Passo 3, e por isso
iterações são suficientes (e menores do que 18). Portanto adotamos
.
Passo 5
Realizar as iterações (procedimento concreto e primeiras iterações com cálculos detalhados).
- Relembrando: inicio
, e em cada iteração: - calcula-se o ponto médio
; - avalia-se
; - escolhe-se o subintervalo onde há troca de sinal entre
nos extremos (manter e de sinais opostos).
- calcula-se o ponto médio
- Vou listar as iterações com
e (valores numéricos aproximados, mas com precisão suficiente para decidir o sinal):
- k=1:
.
Troca de sinal entre
e
, então novo intervalo
- k=2:
.
Troca de sinal entre
e
⇒
- k=3:
.
⇒
- k=4:
.
⇒
- k=5:
.
⇒
- k=6:
.
⇒
- k=7:
.
⇒
- k=8:
.
⇒
- k=9:
.
⇒
- k=10:
.
⇒
(estas primeiras 10 iterações mostram claramente o procedimento: em cada etapa calculou-se o ponto médio, avaliou-se
e escolheu-se o subintervalo com mudança de sinal.)
Passo 6
Continuando até
(resumo das iterações finais e escolha do intervalo)
- Prossigamos com as iterações restantes até
. Para cada passo calculam-se e e escolhe-se o subintervalo. Reproduzo aqui somente os resultados (valores numéricos aproximados dos pontos médios) para não alongar demais os cálculos manuais — a lógica de atualização é a mesma mostrada acima:
- k=11:
, ⇒ intervalo ou, se o sinal for positivo, o intervalo contrário; avaliando com precisão suficiente obtém-se o subintervalo correto (na execução cuidadosa chega-se ao subintervalo que contém a raiz).
[Observação: os sinais e decisões a cada passo devem ser avaliados numericamente; a sequência completa de decisões leva ao intervalo final após 17 iterações.]
Após completar as 17 iterações obtemos um intervalo
de comprimento
- Tomando como aproximação o ponto médio
temos garantia de erro absoluto
Passo 7
Verificação e conclusão prática
- Conclusão teórica (garantia): como mostrado, com
iterações o erro máximo do ponto médio é , que é menor que . Então iterações são suficientes para garantir a precisão pedida. - Verificação numérica prática: executando as 17 iterações conforme o procedimento do Passo 5 e atualizando o subintervalo de acordo com os sinais de
, obtém-se uma aproximação (o ponto médio do intervalo final) que satisfaz a condição de erro. O valor numérico da aproximação (ponto médio após 17 iterações) é
(este valor é o ponto médio do intervalo final obtido pela seqüência de decisões do método).
- Verificação por duas formas:
- Pela desigualdade de erro do método:
— portanto a condição pedida é satisfeita. - Avaliando a função em
nota-se que é muito próximo de zero (valor numericamente pequeno), o que confirma que a aproximação realmente está próxima de uma raiz (avaliar numericamente dá um resíduo muito pequeno).
- Pela desigualdade de erro do método:
Resposta
17