Resolva o sistema abaixo pela decomposição L U usando pivotação parcial (use uma aproximação de 4 casas decimais).
\begin{aligned} -x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3} & =-1 \\\\ 3 x_{1}-4 x_{2}+x_{3} & =-4 \\\\ -4 x_{1}-5 x_{2}+3 x_{3} & =20 \end{aligned}
a. \mathrm{x}=\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right]
b. \mathrm{x}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]
c. \quad[3]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} -x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=-1,\\\\ 3x_{1}-4x_{2}+x_{3}=-4,\\\\ -4x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=20, \end{cases}
usando decomposição \!L\,U com pivotação parcial e aproximações com 4 casas decimais. Vamos construir matrizes P, L e U, depois resolver L\,y=P\,b e U\,x=y.

Passo 2

Determinar o primeiro pivô na coluna 1 entre as linhas 1–3: os valores absolutos são \lvert-1\rvert=1, \lvert3\rvert=3, \lvert-4\rvert=4. O maior é 4 (linha 3), então trocamos a linha 1 com a linha 3. Com isso
P\,A= \begin{pmatrix} -4 & -5 & 3\\\\ 3 & -4 & 1\\\\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix},\quad P\,b= \begin{pmatrix} 20\\\ -4\\\ -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular os multiplicadores para zerar abaixo de U_{11}=-4:
m_{21}=\frac{3}{-4}=-0.75,\quad m_{31}=\frac{-1}{-4}=0.25.
Atualizando as linhas 2 e 3:
linha 2 \leftarrow linha 2 -m_{21} \timeslinha 1 dá (0,\,-7.75,\;3.25\mid 11),
linha 3 \leftarrow linha 3 -m_{31} \timeslinha 1 dá (0,\;3.25,\;-2.75\mid -6).

Passo 4

Segundo pivô na coluna 2 (linhas 2–3): \lvert-7.75\rvert=7.75 é maior que \lvert3.25\rvert, sem troca.
Multiplicador
m_{32}=\frac{3.25}{-7.75}\approx -0.4194.
Zerando em U: linha 3 \leftarrow linha 3 -m_{32} \timeslinha 2 dá (0,0,\;-1.3863\mid -1.3871).
Assim
L=\begin{pmatrix} 1 &0 &0\\\\ -0.75 &1 &0\\\\ 0.25 &-0.4194 &1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} -4 &-5 &3\\\\ 0 &-7.75 &3.25\\\\ 0 &0 &-1.3863 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolver L\,y=P\,b por substituição direta: y_{1}=20,
y_{2}=-4-(-0.75)\,20=11,
y_{3}=-1-0.25\cdot20-(-0.4194)\cdot11\approx -1.3871.

Passo 6

Resolver U\,x=y por retro-substituição:
-1.3863\,x_{3}=-1.3871 \;\Longrightarrow\; x_{3}\approx1.0006,
-7.75\,x_{2}+3.25\cdot1.0006=11 \;\Longrightarrow\; x_{2}\approx-0.9997,
-4\,x_{1}-5(-0.9997)+3(1.0006)=20 \;\Longrightarrow\; x_{1}\approx-2.9999\approx-3.0000.
Arredondando a 4 casas, obtém-se \displaystyle x=\begin{pmatrix}-3.0000\\\ -1.0000\\\ 1.0006\end{pmatrix},
ou seja exatamente \displaystyle x=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

(c)

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