(a) Utilize a série de Taylor para deduzir uma aproximação centrada para \mathrm{d} f(x) / \mathrm{d} x da forma
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{A f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+B f\left(x+\Delta_{x}\right)+C f(x)+D f\left(x-\Delta_{x}\right)+E f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{\Delta_{x}} .
Solução:
Como temos 5 coeficientes a determinar, utilizamos 5 termos da série de Taylor em cada expansão:
\begin{aligned} & f(x+\Delta x)=f(x)+\Delta x f^{(1)}(x)+\Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}+\Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+\Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}+[\sim 0] \\\ & f(x+2 \Delta x)=f(x)+2 \Delta x f^{(1)}(x)+4 \Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}+8 \Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+16 \Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}+[\sim 0] \\\ & f(x-\Delta x)=f(x)-\Delta x f^{(1)}(x)+\Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}-\Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+\Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}+[\sim 0] \\\ & f(x-2 \Delta x)=f(x)-2 \Delta x f^{(1)}(x)+4 \Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}-8 \Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+16 \Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}+[\sim 0] \end{aligned}
Substituindo as expansões acima na expressão dada, temos:
\Delta_{x} \frac{d f(x)}{d x} \approx
+A .\left(f(x)+2 \Delta x f^{(1)}(x)+4 \Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}+8 \Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+16 \Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}\right)+
+B .\left(f(x)+\Delta x f^{(1)}(x)+\Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}+\Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+\Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}\right)+
+C .(f(x))+
+D .\left(f(x)-\Delta x f^{(1)}(x)+\Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}-\Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+\Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}\right)+
+E .\left(f(x)-2 \Delta x f^{(1)}(x)+4 \Delta x^{2} \frac{f^{(2)}(x)}{2}-8 \Delta x^{3} \frac{f^{(3)}(x)}{6}+16 \Delta x^{4} \frac{f^{(4)}(x)}{24}\right).
Agrupando os termos f(x) e suas derivadas, temos:
\begin{aligned} & \Delta_{x} \frac{d f(x)}{d x} \approx f(x)(A+B+C+D+E)+f^{(1)}(x)(2 \Delta x \cdot A+\Delta x \cdot B-\Delta x \cdot D-2 \Delta x \cdot E)+ \\\ & +\frac{f^{(2)}(x)}{2}\left(4 \Delta x^{2} \cdot A+\Delta x^{2} \cdot B+\Delta x^{2} \cdot D+4 \Delta x^{2} \cdot E\right)+\frac{f^{(3)}(x)}{6}\left(8 \Delta x^{3} \cdot A+\Delta x^{3} \cdot B-\Delta x^{3} \cdot D-8 \Delta x^{3} E\right)+ \\\ & +\frac{f^{(4)}(x)}{24}\left(16 \Delta x^{4} \cdot A+\Delta x^{4} B+\Delta x^{4} \cdot D+16 \Delta x^{4} \cdot E\right) . \end{aligned}
Chega-se, por tanto, ao sistema:
\left\{\begin{array} { l } { A + B + C + D + E = 0 } \\\ { 2 \Delta _ { x } \cdot A + \Delta _ { x } \cdot B - \Delta _ { x } \cdot D - 2 \Delta _ { x } \cdot E = \Delta _ { x } } \\\ { 4 \Delta _ { x } { } ^ { 2 } \cdot A + \Delta _ { x } { } ^ { 2 } \cdot B + \Delta _ { x } { } ^ { 2 } \cdot D + 4 \Delta _ { x } { } ^ { 2 } \cdot E = 0 } \\\ { 8 \Delta _ { x } { } ^ { 3 } \cdot A + \Delta _ { x } { } ^ { 3 } \cdot B - \Delta _ { x } { } ^ { 3 } \cdot D - 8 \Delta _ { x } { } ^ { 3 } E = 0 } \\\ { 1 6 \Delta _ { x } { } ^ { 4 } \cdot A + \Delta _ { x } { } ^ { 4 } B + \Delta _ { x } { } ^ { 4 } \cdot D + 1 6 \Delta _ { x } { } ^ { 4 } \cdot E = 0 } \end{array} \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} A+B+C+D+E=0 \\\\ 2 \cdot A+B-D-2 \cdot E=1 \\\\ 4 \cdot A+B+D+4 \cdot E=0 \\\\ 8 \cdot A+B-D-8 E=0 \\\\ 16 \cdot A+B+D+16 \cdot E=0 \end{array}\right.\right.
Resolvendo o sistema, através da eliminação de Gauss, chegamos a
A=-1 / 12, B=8 / 12, C=0, D=-8 / 12 \text { e } E=1 / 12
Ou seja, substituindo os valores encontrados para as constantes em
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{A f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+B f\left(x+\Delta_{x}\right)+C f(x)+D f\left(x-\Delta_{x}\right)+E f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{\Delta_{x}}
obtemos a aproximação
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{-f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+8 f\left(x+\Delta_{x}\right)-8 f\left(x-\Delta_{x}\right)+f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{12 \Delta_{x}}
(b) qual é a ordem da aproximação solicitada no item acima?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar os coeficientes A,B,C,D,E na aproximação centrada
\frac{d f(x)}{d x} \approx \frac{A f\left(x+2 \Delta_{x}\right)+B f\left(x+\Delta_{x}\right)+C f(x)+D f\left(x-\Delta_{x}\right)+E f\left(x-2 \Delta_{x}\right)}{\Delta_{x}}.
  1. Dizer a ordem da aproximação encontrada.
Informações dadas (que vamos usar): podemos expandir f em série de Taylor em torno de x até as derivadas necessárias; o passo espacial é \Delta_{x}. Não há mais informação externa; todas as expansões serão centradas em x.

Passo 2

Escrevemos as expansões de Taylor de cada termo até a derivada de quarta ordem (os termos de ordem superior serão o erro que determinaremos depois). As expansões são:
\begin{aligned} f(x+\Delta_x)&=f(x)+\Delta_x f^{(1)}(x)+\frac{\Delta_x^{2}}{2} f^{(2)}(x)+\frac{\Delta_x^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{\Delta_x^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\mathcal{O}(\Delta_x^{5}),\\[6pt] f(x+2\Delta_x)&=f(x)+2\Delta_x f^{(1)}(x)+\frac{(2\Delta_x)^{2}}{2} f^{(2)}(x)+\frac{(2\Delta_x)^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{(2\Delta_x)^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\mathcal{O}(\Delta_x^{5}),\\[6pt] f(x-\Delta_x)&=f(x)-\Delta_x f^{(1)}(x)+\frac{\Delta_x^{2}}{2} f^{(2)}(x)-\frac{\Delta_x^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{\Delta_x^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\mathcal{O}(\Delta_x^{5}),\\[6pt] f(x-2\Delta_x)&=f(x)-2\Delta_x f^{(1)}(x)+\frac{(2\Delta_x)^{2}}{2} f^{(2)}(x)-\frac{(2\Delta_x)^{3}}{6} f^{(3)}(x)+\frac{(2\Delta_x)^{4}}{24} f^{(4)}(x)+\mathcal{O}(\Delta_x^{5}). \end{aligned}
Aqui f^{(k)}(x) denota a k-ésima derivada de f em x. O símbolo \mathcal{O}(\Delta_x^{5}) representa termos de ordem \Delta_x^{5} e superiores, que ainda não escrevemos explicitamente.]

Passo 3

Substituímos essas expansões na combinação linear do numerador e agrupamos termos por potências de \Delta_x e por derivadas:
\Delta_x\frac{d f(x)}{d x}\approx
\begin{aligned} &f(x)\,(A+B+C+D+E)\\\ &+f^{(1)}(x)\,\Delta_x\,(2A+B-D-2E)\\\ &+\frac{f^{(2)}(x)}{2}\,\Delta_x^{2}\,(4A+B+D+4E)\\\ &+\frac{f^{(3)}(x)}{6}\,\Delta_x^{3}\,(8A+B-D-8E)\\\ &+\frac{f^{(4)}(x)}{24}\,\Delta_x^{4}\,(16A+B+D+16E)\\\ &+\mathcal{O}(\Delta_x^{5}). \end{aligned}
Explicitação: para cada deslocamento multiplicamos o coeficiente (A,B,C,D,E) pelos termos da série; ao agrupar, por exemplo o coeficiente de f^{(1)}(x) resulta de 2A+B- D-2E multiplicado por \Delta_x, etc.

Passo 4

Queremos que a combinação represente \Delta_x f^{(1)}(x)\) (pois multiplicamos a derivada por \(\Delta_x\) no lado esquerdo). Portanto impomos que os coeficientes dos termos indesejados (constante, \(f^{(2)}, f^{(3)}, f^{(4)}\)) sejam zero, e que o coeficiente de \(f^{(1)}(x)\) seja \(1\). Assim obtemos o sistema (dividindo por potências de \(\Delta_x\) quando conveniente): \[\begin{cases} A+B+C+D+E=0,\\[4pt] 2A+B-D-2E=1,\\[4pt] 4A+B+D+4E=0,\\[4pt] 8A+B-D-8E=0,\\[4pt] 16A+B+D+16E=0. \end{cases}
Esse é um sistema linear de cinco equações para as cinco incógnitas (A,B,C,D,E].]

Passo 5

Vamos resolver o sistema de forma direta e organizada.
  1. Subtraímos a segunda equação da quarta para eliminar B e D:
(8A+B-D-8E)-(2A+B-D-2E)=0-1 \Rightarrow 6A-6E=-1,
ou seja
A-E=-\tfrac{1}{6}. \tag{i}
  1. Subtraímos a terceira equação da quinta:
(16A+B+D+16E)-(4A+B+D+4E)=0-0 \Rightarrow 12A+12E=0,
ou seja
A+E=0 \Rightarrow E=-A. \tag{ii}
  1. De (i) e (ii): substituindo E=-A em (i) obtemos
A-(-A)=-\tfrac{1}{6}\Rightarrow 2A=-\tfrac{1}{6}\Rightarrow A=-\tfrac{1}{12}.
Então
E=-A=\tfrac{1}{12}.
  1. Usamos agora a terceira equação para relacionar B e D:
4A+B+D+4E=0.
Substituindo A=-\tfrac{1}{12} e E=\tfrac{1}{12}
4\left(-\tfrac{1}{12}\right)+B+D+4\left(\tfrac{1}{12}\right)=0 \Rightarrow B+D=0 \Rightarrow D=-B. \tag{iii}
  1. Usamos a segunda equação para achar B:
2A+B-D-2E=1.
Com D=-B isso vira
2A+B-(-B)-2E=1 \Rightarrow 2A+2B-2E=1.
Dividindo por 2:
A+B-E=\tfrac{1}{2}.
Substituímos A=-\tfrac{1}{12} e E=\tfrac{1}{12}:
-\tfrac{1}{12}+B-\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow B-\tfrac{1}{6}=\tfrac{1}{2}\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{3}.
Logo
B=\tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{12},\qquad D=-B=-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{8}{12}.
  1. Finalmente usamos a primeira equação para C:
A+B+C+D+E=0\Rightarrow C=-(A+B+D+E).
Substituindo os valores:
C= -\Big(-\tfrac{1}{12}+\tfrac{8}{12}-\tfrac{8}{12}+\tfrac{1}{12}\Big)= -\Big(0\Big)=0.
Portanto os coeficientes são
A=-\tfrac{1}{12},\quad B=\tfrac{2}{3},\quad C=0,\quad D=-\tfrac{2}{3},\quad E=\tfrac{1}{12}.

Passo 6

Substituímos esses coeficientes na fórmula original. Como \tfrac{2}{3}=\tfrac{8}{12}, podemos escrever a aproximação de forma comumente vista:
\frac{d f(x)}{d x}\approx\frac{-f(x+2\Delta_x)+8f(x+\Delta_x)-8f(x-\Delta_x)+f(x-2\Delta_x)}{12\Delta_x}.
Esse é o esquema centrado de cinco pontos para a derivada de primeira ordem.

Passo 7

Agora determinamos a ordem do erro (a ordem da aproximação). Pelo desenvolvimento em Taylor, os termos até f^{(4)}(x) foram anulados pelas equações que impusemos; o primeiro termo não anulado vem da contribuição da derivada de quinta ordem f^{(5)}(x).
Para ver o termo principal do erro, considere a contribuição de f^{(5)}(x) nas expansões: o termo em f^{(5)}(x) em f(x+k\Delta_x) é \dfrac{(k\Delta_x)^{5}}{5!}f^{(5)}(x) com k=\pm1,\pm2. A combinação linear no numerador produz (após alguma conta) um resíduo proporcional a \Delta_x^{5} f^{(5)}(x). Ao dividir pelo \Delta_x do denominador, o termo de erro dominante fica proporcional a \Delta_x^{4} f^{(5)}(x).
Se quisermos, podemos computar o coeficiente exato do erro dominante: a soma ponderada dos fatores dá -4, de modo que o termo de erro principal é
-\frac{\Delta_x^{4}}{30}\,f^{(5)}(x)+\mathcal{O}(\Delta_x^{6}).
Logo o erro é da ordem de \Delta_x^{4}.

Resposta

\frac{d f(x)}{d x}\approx\frac{-f(x+2\Delta_x)+8f(x+\Delta_x)-8f(x-\Delta_x)+f(x-2\Delta_x)}{12\Delta_x}
Ordem da aproximação: \mathcal{O}(\Delta_x^{4})

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