Informações dadas (que vamos usar): podemos expandir f em série de Taylor em torno de x até as derivadas necessárias; o passo espacial é \Delta_{x}. Não há mais informação externa; todas as expansões serão centradas em x.
Passo 2
Escrevemos as expansões de Taylor de cada termo até a derivada de quarta ordem (os termos de ordem superior serão o erro que determinaremos depois). As expansões são:
Aqui f^{(k)}(x) denota a k-ésima derivada de f em x. O símbolo \mathcal{O}(\Delta_x^{5}) representa termos de ordem \Delta_x^{5} e superiores, que ainda não escrevemos explicitamente.]
Passo 3
Substituímos essas expansões na combinação linear do numerador e agrupamos termos por potências de \Delta_x e por derivadas:
Explicitação: para cada deslocamento multiplicamos o coeficiente (A,B,C,D,E) pelos termos da série; ao agrupar, por exemplo o coeficiente de f^{(1)}(x) resulta de 2A+B- D-2E multiplicado por \Delta_x, etc.
Passo 4
Queremos que a combinação represente \Delta_x f^{(1)}(x)\) (pois multiplicamos a derivada por \(\Delta_x\) no lado esquerdo). Portanto impomos que os coeficientes dos termos indesejados (constante, \(f^{(2)}, f^{(3)}, f^{(4)}\)) sejam zero, e que o coeficiente de \(f^{(1)}(x)\) seja \(1\). Assim obtemos o sistema (dividindo por potências de \(\Delta_x\) quando conveniente):
\[\begin{cases} A+B+C+D+E=0,\\[4pt] 2A+B-D-2E=1,\\[4pt] 4A+B+D+4E=0,\\[4pt] 8A+B-D-8E=0,\\[4pt] 16A+B+D+16E=0. \end{cases}
Esse é um sistema linear de cinco equações para as cinco incógnitas (A,B,C,D,E].]
Passo 5
Vamos resolver o sistema de forma direta e organizada.
Subtraímos a segunda equação da quarta para eliminar B e D:
Esse é o esquema centrado de cinco pontos para a derivada de primeira ordem.
Passo 7
Agora determinamos a ordem do erro (a ordem da aproximação). Pelo desenvolvimento em Taylor, os termos até f^{(4)}(x) foram anulados pelas equações que impusemos; o primeiro termo não anulado vem da contribuição da derivada de quinta ordem f^{(5)}(x).
Para ver o termo principal do erro, considere a contribuição de f^{(5)}(x) nas expansões: o termo em f^{(5)}(x) em f(x+k\Delta_x) é \dfrac{(k\Delta_x)^{5}}{5!}f^{(5)}(x) com k=\pm1,\pm2. A combinação linear no numerador produz (após alguma conta) um resíduo proporcional a \Delta_x^{5} f^{(5)}(x). Ao dividir pelo \Delta_x do denominador, o termo de erro dominante fica proporcional a \Delta_x^{4} f^{(5)}(x).
Se quisermos, podemos computar o coeficiente exato do erro dominante: a soma ponderada dos fatores dá -4, de modo que o termo de erro principal é