Aplique o método de Euler para aproximar o valor de y(1.3) ao PVI y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y e^{t}=0, sabendo-se que y(1)=2 e y^{\prime}(1)=3. Utilize n=3.

Passo 1

O problema pede para aproximar y(1.3) no PVI
y'' - y' + y\,e^t = 0,\quad y(1)=2,\;y'(1)=3
usando o método de Euler com n=3. O conteúdo é transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem e aplicar Euler explícito.

Passo 2

Definimos
u_1(t)=y(t),\quad u_2(t)=y'(t).
Então
u_1' = u_2,\qquad u_2' = y'' = y' - y\,e^t = u_2 - u_1\,e^t.
Temos o sistema
\begin{cases} u_1' = f_1(t,u_1,u_2)=u_2,\\\ u_2' = f_2(t,u_1,u_2)=u_2 - u_1\,e^t, \end{cases}
com condição inicial (u_1(1),u_2(1))=(2,3).

Passo 3

O passo é
h=\frac{1{,}3-1}{3}=0{,}1.
No método de Euler explícito, a iteração genérica é
u_{1}^{k+1}=u_{1}^{k}+h\,f_1(t_k,u_{1}^{k},u_{2}^{k}), \qquad u_{2}^{k+1}=u_{2}^{k}+h\,f_2(t_k,u_{1}^{k},u_{2}^{k}),
com t_k=1+k\,h, k=0,1,2.

Passo 4

Para k=0: t_0=1, u_1^0=2, u_2^0=3.
Calculamos
f_1^0=3,\quad f_2^0=3-2\,e^1=3-2e\approx3-5{,}43656=-2{,}43656.
Logo
u_1^1=2+0{,}1\cdot3=2{,}3, \qquad u_2^1=3+0{,}1\cdot(-2{,}43656)=2{,}756344.

Passo 5

Para k=1: t_1=1{,}1, u_1^1=2{,}3, u_2^1\approx2{,}756344.
f_1^1=2{,}756344,\quad f_2^1=2{,}756344-2{,}3\,e^{1{,}1}\approx2{,}756344-2{,}3\cdot3{,}00417=-4{,}153246.
Então
u_1^2=2{,}3+0{,}1\cdot2{,}756344=2{,}5756344, \quad u_2^2=2{,}756344+0{,}1\cdot(-4{,}153246)=2{,}3410194.

Passo 6

Para k=2: t_2=1{,}2, u_1^2\approx2{,}5756344, u_2^2\approx2{,}3410194.
f_1^2=2{,}3410194,\quad f_2^2=2{,}3410194-2{,}5756344\,e^{1{,}2}\approx2{,}3410194-2{,}5756344\cdot3{,}32012=-6{,}2100865.
Assim
u_1^3=2{,}5756344+0{,}1\cdot2{,}3410194=2{,}8097363,
u_2^3=2{,}3410194+0{,}1\cdot(-6{,}2100865)=1{,}7200107.

Resposta

A aproximação pelo método de Euler dá
y(1{,}3)\approx u_1^3\approx2{,}8097.

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