Use o método de Euler com h=0,33 para determinar um valor aproximado para y(9,9+3 \times 0,33), onde y(x) é a solução do PVI abaixo.
\left\{\begin{array}{c} x y^{\prime}-(1+x) y=0 \\\ y(9,9)=3,8 \end{array}\right.
Resposta: \square

Passo 1

O problema pede para usar o método de Euler com passo h=0,33\) para aproximar \(y(9,9+3\times0,33)\). A função \(y(x)\) satisfaz o PVI \[\begin{cases} x\,y'-(1+x)\,y=0,\\\ y(9,9)=3,8. \end{cases}
Logo queremos y(10,89)\], num intervalo dividido em 3 subpassos de tamanho \(h=0,33.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO em forma padrão y'=f(x,y). Temos
x\,y'=(1+x)\,y \quad\Longrightarrow\quad y'=\frac{1+x}{x}\,y=\Bigl(1+\tfrac1{x}\Bigr)y.
No método de Euler:
y_{n+1}=y_n + h\,f(x_n,y_n), \quad x_{n+1}=x_n + h.

Passo 3

No passo n=0: x_0=9,9, y_0=3,8. Calcule
f(x_0,y_0)=\Bigl(1+\tfrac1{9,9}\Bigr)\cdot3,8 =\bigl(1+0,1010\bigr)\cdot3,8\approx4,1838.
Então
y_1 = y_0 + 0,33\cdot4,1838 \approx3,8 +1,3807 \approx5,1807, \quad x_1=9,9+0,33=10,23.

Passo 4

No passo n=1: x_1=10,23, y_1\approx5,1807. Calcule
f(x_1,y_1)=\Bigl(1+\tfrac1{10,23}\Bigr)\cdot5,1807 =\bigl(1+0,0978\bigr)\cdot5,1807\approx5,6870.
Então
y_2 = y_1 + 0,33\cdot5,6870 \approx5,1807 +1,8767 \approx7,0574, \quad x_2=10,23+0,33=10,56.

Passo 5

No passo n=2: x_2=10,56, y_2\approx7,0574. Calcule
f(x_2,y_2)=\Bigl(1+\tfrac1{10,56}\Bigr)\cdot7,0574 =\bigl(1+0,0947\bigr)\cdot7,0574\approx7,7258.
Então
y_3 = y_2 + 0,33\cdot7,7258 \approx7,0574 +2,5495 \approx9,6069, \quad x_3=10,56+0,33=10,89.

Resposta

Aproximadamente y(10,89)\approx9,61.

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