Aplique o método da Falsa Posição à função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos (\mathrm{x})-\mathrm{x}^{\wedge} 2 no intervalo [0,1], com precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da função
f(x)=\cos(x)-x^2
no intervalo [0,1] usando o método da falsa posição (regula falsi), com precisão de 10^{-4}. Vamos precisar verificar que f(0) e f(1) têm sinais opostos, aplicar a fórmula
x_r = \frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}
e iterar até que a diferença entre duas aproximações sucessivas seja menor que 10^{-4}.

Passo 2

Primeiro, calculamos
f(0)=\cos(0)-0^2 = 1,
f(1)=\cos(1)-1^2 \approx 0,5403 - 1 = -0,4597.
Como f(0)\cdot f(1)<0, há pelo menos uma raiz em [0,1].
A cada iteração k, denotamos os extremos por a_k e b_k e calculamos
x_k = \frac{a_k\,f(b_k)-b_k\,f(a_k)}{f(b_k)-f(a_k)}.
Atualizamos o intervalo trocando a_k ou b_k pelo novo ponto x_k conforme o sinal de f(x_k). O critério de parada é
\bigl|x_k - x_{k-1}\bigr| < 10^{-4}.

Passo 3

Aplicando o método passo a passo:
Para k=1: a_0=0,\;b_0=1
x_1 = \frac{0\cdot(-0,4597) - 1\cdot1}{-0,4597 - 1} \approx 0,68507,
f(x_1)=\cos(0,68507)-0,68507^2\approx 0,3055>0
Logo escolhemos a_1 = x_1, b_1 = 1.
Para k=2: a_1=0,68507,\;b_1=1
x_2 = \frac{0,68507\cdot(-0,4597) - 1\cdot0,3055}{-0,4597 - 0,3055} \approx 0,81094,
f(x_2)\approx 0,0324>0
Logo a_2 = x_2, b_2 = 1.
Para k=3: a_2=0,81094,\;b_2=1
x_3 \approx 0,82371,\quad f(x_3)\approx 0,0013>0
Logo a_3 = x_3, b_3 = 1.
Para k=4: a_3=0,82371,\;b_3=1
x_4 \approx 0,82440,\quad f(x_4)\approx -0,0008<0
Logo a_4=0,82371, b_4=x_4.
Para k=5: a_4=0,82371,\;b_4=0,82440
x_5 \approx 0,82381,\quad f(x_5)\approx 0,00027>0
Logo a_5=x_5, b_5=0,82440.
Para k=6: a_5=0,82381,\;b_5=0,82440
x_6 \approx 0,82388,\quad f(x_6)\approx -0,00006
Calculamos o erro em x:
|x_6 - x_5|\approx 0,000079 < 10^{-4},
portanto atendemos ao critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx 0,8239.

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