Determine uma raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\wedge} \mathrm{x}-3 \mathrm{x} no intervalo [0,1], usando o método da Secante com precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz da função f(x)=e^x-3x no intervalo [0,1], usando o método da Secante com precisão de 10^{-4}. O conteúdo é métodos de aproximação de raízes e vamos precisar avaliar f e aplicar a fórmula da Secante até a diferença entre duas aproximações ser menor que 10^{-4}.

Passo 2

Verificamos que
f(0)=e^0-0=1>0, \quad f(1)=e^1-3\approx2,7183-3=-0,2817<0,
logo existe raiz em [0,1]. Definimos x_0=0, x_1=1 e usamos a fórmula
x_{n+1}=x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.

Passo 3

Calculamos
x_2 = 1 - \bigl(f(1)\bigr)\frac{1-0}{f(1)-f(0)} =1 - \bigl(-0,2817\bigr)\frac{1}{-0,2817-1} \approx0,7802,
com f(x_2)\approx-0,1593, e em seguida
x_3 = 0,7802 - (-0,1593)\frac{0,7802-1}{-0,1593-(-0,2817)} \approx0,4941,
com f(x_3)\approx0,1573.

Passo 4

Prosseguindo com a mesma fórmula, obtemos
x_4\approx0,6363,\quad f(x_4)\approx-0,0194; \quad x_5\approx0,6205,\quad f(x_5)\approx-0,0011.

Passo 5

Continuamos até que \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<10^{-4}:
x_6\approx0,6196,\; x_7\approx0,6194,\; x_8\approx0,61939,
onde \lvert x_8-x_7\rvert<10^{-4}, portanto a convergência foi atingida.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx0,6194 (com precisão de 10^{-4}).

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