Usando eliminação de Gauss determine para quais valores de a o sistema linear não tem solução.
\left\{\begin{array}{c}x_{1}-x_{2}+x_{3}=2 \\\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=-1 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+a x_{3}=a\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\\\ x_{1}+2x_{2}+a x_{3}=-1,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}+a x_{3}=a, \end{cases}
e pede os valores de a para os quais o sistema não tem solução. O método aqui é eliminação de Gauss, levando a matriz ampliada a uma forma triangular e checando se surge uma equação impossível (tipo 0x= \beta, com \beta\neq0).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x_{1} das linhas 2 e 3 usando a linha 1:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vrule & 2\\\\ 1 & 2 & a & \vrule & -1\\\\ 2 & 3 & a & \vrule & a \end{pmatrix}
Fazendo L_{2}\leftarrow L_{2}-L_{1} e L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1}, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & \vrule & 2\\\\ 0 & 3 & a-1 & \vrule & -3\\\\ 0 & 5 & a-2 & \vrule & a-4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora eliminamos x_{2} da terceira linha usando a segunda linha:
L_{3}\leftarrow L_{3}-\frac{5}{3}L_{2}.
O novo coeficiente de x_{3} em L_{3} é
(a-2)-\frac{5}{3}(a-1) =\frac{3(a-2)-5(a-1)}{3} =\frac{-2a-1}{3},
e o novo termo independente é
(a-4)-\frac{5}{3}(-3) =(a-4)+5 =a+1.
Logo a linha 3 vira
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+\frac{-2a-1}{3}\,x_{3}=a+1.

Passo 4

Para que surja inconsistência, precisamos de coeficiente zero em x_{3} e termo independente diferente de zero. Ou seja,
\frac{-2a-1}{3}=0 \quad\text{e}\quad a+1\neq0.
Da primeira condição vem -2a-1=0, isto é a=-\tfrac12. Neste caso o termo independente vale
a+1=-\tfrac12+1=\tfrac12\neq0,
gera a equação 0\cdot x_{3}=\tfrac12, impossível.

Resposta

O sistema não tem solução exatamente para
a=-\tfrac12.

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