Use o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln (\mathrm{x}+2)-\mathrm{x}, com \mathrm{x}_{0}=0.5 e precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede que usemos o método de Newton–Raphson para achar uma raiz da função \mathrm f(x)=\ln(x+2)-x
com chute inicial \,x_{0}=0,5 e precisão de 10^{-4}. Vamos precisar das expressões de \mathrm f(x) e de sua derivada \mathrm f'(x) para aplicar a iteração.

Passo 2

Calculamos a derivada:
\mathrm f'(x)=\frac{1}{x+2}-1.
A fórmula de Newton–Raphson é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{\mathrm f(x_{n})}{\mathrm f'(x_{n})}.

Passo 3

Para n=0, x_{0}=0,5. Avaliamos
\mathrm f(x_{0})=\ln(0{,}5+2)-0{,}5=\ln(2{,}5)-0{,}5\approx0{,}916291-0{,}5=0{,}416291,
\mathrm f'(x_{0})=\frac{1}{2{,}5}-1=0{,}4-1=-0{,}6.
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x_{1}=0{,}5-\frac{0{,}416291}{-0{,}6}\approx1{,}193818.

Passo 4

Para n=1, x_{1}\approx1{,}193818. Calculamos
\mathrm f(x_{1})=\ln(1{,}193818+2)-1{,}193818=\ln(3{,}193818)-1{,}193818\approx1{,}160883-1{,}193818=-0{,}032935,
\mathrm f'(x_{1})=\frac{1}{3{,}193818}-1\approx0{,}313178-1=-0{,}686822,
x_{2}=1{,}193818-\frac{-0{,}032935}{-0{,}686822}\approx1{,}145859.

Passo 5

Para n=2, x_{2}\approx1{,}145859. Avaliamos
\mathrm f(x_{2})=\ln(1{,}145859+2)-1{,}145859=\ln(3{,}145859)-1{,}145859\approx1{,}146079-1{,}145859=0{,}000220,
\mathrm f'(x_{2})=\frac{1}{3{,}145859}-1\approx0{,}317742-1=-0{,}682258,
x_{3}=1{,}145859-\frac{0{,}000220}{-0{,}682258}\approx1{,}146180.

Passo 6

Para n=3, x_{3}\approx1{,}146180. Calculamos
\mathrm f(x_{3})=\ln(1{,}146180+2)-1{,}146180=\ln(3{,}146180)-1{,}146180\approx1{,}146181-1{,}146180=0{,}000001,
\mathrm f'(x_{3})=\frac{1}{3{,}146180}-1\approx0{,}317735-1=-0{,}682265,
x_{4}=1{,}146180-\frac{0{,}000001}{-0{,}682265}\approx1{,}146185.
Como \lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx0{,}000005<10^{-4}, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx1{,}14618.

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