Encontre a raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\wedge} 3-5 \mathrm{x}+3 no intervalo [0,1], utilizando o método da Bissecção com precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=x^3-5x+3
no intervalo [0,1] pelo método da bissecção, com precisão \varepsilon=10^{-4}. Vamos usar a ideia básica de bissecção: em cada iteração tomamos c=(a+b)/2 e escolhemos o subintervalo onde f muda de sinal, repetindo até \tfrac{b-a}2<\varepsilon.

Passo 2

Verificamos os sinais em a=0 e b=1:
f(0)=0^3-5\cdot0+3=3>0, \qquad f(1)=1^3-5\cdot1+3=-1<0.
Como f(0)\,f(1)<0, há pelo menos uma raiz em [0,1].

Passo 3

No método da bissecção, a cada iteração calculamos
c=\frac{a+b}{2}
e então:
  • se f\text{(c)}=0, terminamos;
  • se f(a)\,f\text{(c)}<0, substituímos b\leftarrow c;
  • senão, substituímos a\leftarrow c.
    Repetimos até
\frac{b-a}{2}<\varepsilon.

Passo 4

Nas primeiras iterações temos:
Iteração a b c f\text{(c)}
1 0,00000000 1,00000000 0,50000000 0,62500000
2 0,50000000 1,00000000 0,75000000 -0,328125
3 0,50000000 0,75000000 0,62500000 0,11914063
4 0,62500000 0,75000000 0,68750000 -0,11328125
5 0,62500000 0,68750000 0,65625000 0,00244141
A cada passo o comprimento do intervalo [a,b] é reduzido à metade.

Passo 5

Para garantir \tfrac{b-a}2<10^{-4} partindo de comprimento inicial 1, precisamos de N tal que
\frac{1}{2^N}<2\cdot10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad 2^N>5000 \quad\Longrightarrow\quad N\ge13.

Passo 6

Após 13 iterações chegamos a
a_{13}=0,65649414, \quad b_{13}=0,65661621,
cujo ponto médio é
c_{13}=\frac{a_{13}+b_{13}}{2}=0,65655518,
e de fato \tfrac{b_{13}-a_{13}}2\approx1{,}22\times10^{-4}<10^{-4}.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx0,6566.

Exercícios relacionados