O que se pede explicitamente: calcular as duas iterações do método QR, ou seja obter A_1 (após a 1ª iteração) e A_2 (após a 2ª iteração).]
Passo 2
O que é o “método QR” que vamos usar (explicação didática e fórmula):
Em cada iteração toma-se a matriz atual A_k e faz-se a fatoração QR: A_k = Q_k R_k, onde Q_k é ortogonal (Q_k^T Q_k = I) e R_k é triangular superior.
Depois define-se a próxima matriz por
A_{k+1} = R_k Q_k.
Essa operação é uma similaridade ortogonal: A_{k+1} = Q_k^T A_k Q_k. Repetindo-se isso várias vezes, para matrizes reais 2×2 a sequência tende a aproximar uma matriz triangular com os autovalores na diagonal.
Como obter Q e R (Gram–Schmidt, passo a passo):
Seja A=[a_1\; a_2] com colunas a_1,a_2 (vetores em \mathbb{R}^2).
Primeiro vetor ortonormal:u_1 = a_1,\qquad r_{11}=\|u_1\|,\qquad q_1=\frac{u_1}{r_{11}}.
Explicação curta do que acabamos de obter: A_1 é a matriz após a primeira iteração; observe que os elementos da diagonal já começam a aproximar os autovalores da matriz original.]
Passo 5
Segunda iteração: fatoração QR de A_1.
Vamos usar Gram–Schmidt numericamente sobre as colunas de A_1. Chamo as colunas de A_1 por
Comentário sobre o resultado: os elementos diagonais de A_2, aproximadamente 4{,}5127 e -0{,}47627, estão cada vez mais próximos dos autovalores reais da matriz A, que são 2\pm\sqrt{6}\approx 4{,}44949 e -0{,}44949. O método QR está a convergir para uma matriz aproximadamente triangular com os autovalores na diagonal.]