Aplique o método QR, com 2 iterações, à matríz
A=\left(\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 5 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método QR, com 2 iterações, à matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
O que se pede explicitamente: calcular as duas iterações do método QR, ou seja obter A_1 (após a 1ª iteração) e A_2 (após a 2ª iteração).]

Passo 2

O que é o “método QR” que vamos usar (explicação didática e fórmula):
  • Em cada iteração toma-se a matriz atual A_k e faz-se a fatoração QR: A_k = Q_k R_k, onde Q_k é ortogonal ( Q_k^T Q_k = I) e R_k é triangular superior.
  • Depois define-se a próxima matriz por
A_{k+1} = R_k Q_k.
  • Essa operação é uma similaridade ortogonal: A_{k+1} = Q_k^T A_k Q_k. Repetindo-se isso várias vezes, para matrizes reais 2×2 a sequência tende a aproximar uma matriz triangular com os autovalores na diagonal.
Como obter Q e R (Gram–Schmidt, passo a passo):
  • Seja A=[a_1\; a_2] com colunas a_1,a_2 (vetores em \mathbb{R}^2).
  • Primeiro vetor ortonormal: u_1 = a_1,\qquad r_{11}=\|u_1\|,\qquad q_1=\frac{u_1}{r_{11}}.
  • Segundo vetor: r_{12}=q_1^T a_2,\qquad u_2 = a_2 - r_{12} q_1,\qquad r_{22}=\|u_2\|,\qquad q_2=\frac{u_2}{r_{22}}.
  • Então Q=[q_1\; q_2] e R=\begin{pmatrix}r_{11} & r_{12}\\[4pt] 0 & r_{22}\end{pmatrix}.
Vou aplicar exatamente esse procedimento duas vezes (duas iterações). Vou explicar cada conta para você poder reproduzir na prova.]

Passo 3

Primeira iteração: fatoração QR de A_0=A.
Defino as colunas de A:
a_1=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix},\qquad a_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calcule r_{11}=\|a_1\|:
r_{11}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.
O primeiro vetor ortonormal é
q_1=\frac{a_1}{r_{11}}=\frac{1}{\sqrt{34}}\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Projete a_2 sobre q_1 para obter r_{12}:
r_{12}=q_1^T a_2=\frac{1}{\sqrt{34}}(3\cdot 1 + 5\cdot 1)=\frac{8}{\sqrt{34}}.
Agora o segundo vetor não normalizado:
u_2 = a_2 - r_{12} q_1 = a_2 - \frac{8}{\sqrt{34}}\cdot\frac{1}{\sqrt{34}}\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix} = a_2 - \frac{8}{34}\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente (usei que \frac{8}{\sqrt{34}}\cdot\frac{1}{\sqrt{34}}=\frac{8}{34}=\frac{4}{17}):
u_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}-\frac{4}{17}\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-\tfrac{12}{17}\\[4pt]1-\tfrac{20}{17}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{5}{17}\\[4pt]-\tfrac{3}{17}\end{pmatrix}.
Norma de u_2:
r_{22}=\|u_2\|=\sqrt{\left(\tfrac{5}{17}\right)^2+\left(-\tfrac{3}{17}\right)^2} =\frac{1}{17}\sqrt{25+9}=\frac{\sqrt{34}}{17}.
O segundo vetor ortonormal é
q_2=\frac{u_2}{r_{22}}=\frac{\frac{1}{17}\begin{pmatrix}5\\[4pt]-3\end{pmatrix}}{\frac{\sqrt{34}}{17}} =\frac{1}{\sqrt{34}}\begin{pmatrix}5\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Portanto
Q_0=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{\sqrt{34}} & \dfrac{5}{\sqrt{34}}\\[8pt] \dfrac{5}{\sqrt{34}} & -\dfrac{3}{\sqrt{34}} \end{pmatrix}, \qquad R_0=\begin{pmatrix}\sqrt{34} & \dfrac{8}{\sqrt{34}}\\[8pt]0 & \dfrac{2}{\sqrt{34}}\end{pmatrix}.
(Verificação rápida: R_0=Q_0^T A e A=Q_0 R_0.)]

Passo 4

Compute A_1 = R_0 Q_0 (primeira iteração do método QR).
Multiplicando explicitamente:
A_1 = R_0 Q_0 = \begin{pmatrix}\sqrt{34} & \dfrac{8}{\sqrt{34}}\\[6pt] 0 & \dfrac{2}{\sqrt{34}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\dfrac{3}{\sqrt{34}} & \dfrac{5}{\sqrt{34}}\\[8pt] \dfrac{5}{\sqrt{34}} & -\dfrac{3}{\sqrt{34}} \end{pmatrix}.
Fazendo as contas (mostro o resultado exato em frações):
A_1=\begin{pmatrix}\dfrac{71}{17} & \dfrac{73}{17}\\[8pt] \dfrac{5}{17} & -\dfrac{3}{17} \end{pmatrix}.
Se preferir em decimal aproximado:
A_1\approx\begin{pmatrix}4{,}176470588 & 4{,}294117647\\[4pt] 0{,}294117647 & -0{,}176470588 \end{pmatrix}.
Explicação curta do que acabamos de obter: A_1 é a matriz após a primeira iteração; observe que os elementos da diagonal já começam a aproximar os autovalores da matriz original.]

Passo 5

Segunda iteração: fatoração QR de A_1.
Vamos usar Gram–Schmidt numericamente sobre as colunas de A_1. Chamo as colunas de A_1 por
b_1=\begin{pmatrix}\tfrac{71}{17}\\[6pt]\tfrac{5}{17}\end{pmatrix},\qquad b_2=\begin{pmatrix}\tfrac{73}{17}\\[6pt]-\tfrac{3}{17}\end{pmatrix}.
Para facilitar a leitura eu apresento os valores numéricos com boa precisão:
b_1\approx\begin{pmatrix}4{,}176470588\\[4pt]0{,}294117647\end{pmatrix},\qquad b_2\approx\begin{pmatrix}4{,}294117647\\[4pt]-0{,}176470588\end{pmatrix}.
Calcule r_{11}=\|b_1\|:
r_{11}=\sqrt{\left(\tfrac{71}{17}\right)^2+\left(\tfrac{5}{17}\right)^2} =\frac{\sqrt{5066}}{17}\approx 4{,}18916635.
O primeiro vetor ortonormal:
q_1'=\frac{b_1}{r_{11}}\approx\begin{pmatrix}0{,}997061\\[4pt]0{,}070223\end{pmatrix}.
Projete b_2 sobre q_1' para obter r_{12}:
r_{12}=(q_1')^T b_2 \approx 4{,}268822.
Calcule o resíduo u_2' = b_2 - r_{12} q_1':
u_2'\approx\begin{pmatrix}0{,}03762\\[4pt]-0{,}476288\end{pmatrix}.
Norma r_{22}=\|u_2'\|:
r_{22}\approx 0{,}477758.
O segundo vetor ortonormal:
q_2'=\frac{u_2'}{r_{22}}\approx\begin{pmatrix}0{,}07877\\[4pt]-0{,}996888\end{pmatrix}.
Assim obtemos
Q_1=\begin{pmatrix}0{,}997061 & 0{,}07877\\[6pt]0{,}070223 & -0{,}996888\end{pmatrix}, \qquad R_1=\begin{pmatrix}4{,}18916635 & 4{,}268822\\[6pt]0 & 0{,}477758\end{pmatrix},
com aproximações numéricas mostradas.]

Passo 6

Agora calcule A_2 = R_1 Q_1 (segunda iteração completa).
Multiplicando numericamente:
A_2 = R_1 Q_1 \approx \begin{pmatrix} 4{,}5127326 & -3{,}9612008\\[6pt] 0{,}0376447 & -0{,}4762718 \end{pmatrix}.
Comentário sobre o resultado: os elementos diagonais de A_2, aproximadamente 4{,}5127 e -0{,}47627, estão cada vez mais próximos dos autovalores reais da matriz A, que são 2\pm\sqrt{6}\approx 4{,}44949 e -0{,}44949. O método QR está a convergir para uma matriz aproximadamente triangular com os autovalores na diagonal.]

Resposta

A_1=\begin{pmatrix}\dfrac{71}{17} & \dfrac{73}{17}\\[8pt]\dfrac{5}{17} & -\dfrac{3}{17}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}4{,}176470588 & 4{,}294117647\\[6pt]0{,}294117647 & -0{,}176470588\end{pmatrix}
A_2\approx\begin{pmatrix}4{,}5127326 & -3{,}9612008\\[6pt]0{,}0376447 & -0{,}4762718\end{pmatrix}]

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