Apresentados os dados da tabela:
x
2
4
7
11
13
15
17
19
21
23
y
3
7
11
14
18
22
26
30
35
39
Construa o polinômio de grau 1,
, utilizando o método dos mínimos quadrados.
| x | 2 | 4 | 7 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 |
| y | 3 | 7 | 11 | 14 | 18 | 22 | 26 | 30 | 35 | 39 |
Passo 1
O enunciado pede construir o polinômio de grau 1 da forma
que melhor ajusta os dados da tabela pelo método dos mínimos quadrados. Os dados fornecidos (peguei-os na tabela do enunciado) são os pares
:
O que precisamos determinar são os coeficientes
(intercepto) e
(inclinação) do ajuste linear por mínimos quadrados.
Passo 2
Vou explicar o método e as fórmulas que vamos usar (passo a passo, como você pediu).
- Ideia: queremos a reta
- Desse sistema, resolvendo para , obtemos as fórmulas práticas:
onde
e
é o número de pares de dados.
- Aqui:
. Vou calcular as somas necessárias e aplicar essas fórmulas. Cada soma que eu usar virá explicitamente dos pontos da tabela.]
Passo 3
Calcular as somas necessárias a partir dos dados (mostrando como somar, para você poder reproduzir na prova):
- Soma das
:
- Soma das
:
- Soma dos quadrados de
:
(Detalhe: calculei:
.)
- Soma dos produtos
:
(Detalhe: os produtos são
que somam
.)
- Médias:
Passo 4
Calcular
com a fórmula, substituindo as somas que acabamos de obter:
- Primeiro o numerador:
Calcule:
logo
- Agora o denominador:
Calcule:
logo
- Portanto
Eu mostrei a fração reduzida
e a aproximação decimal
(arredondei para 5 casas decimais).
Passo 5
Calcular
usando
:
- Usando as médias
e e o valor de :
- Para obter uma expressão exata, note que
. Então
- Como
(coloquei no mesmo denominador), temos
- Em decimal:
(Dica prática para prova: é mais rápido calcular
usando as médias e a aproximação de
. Se precisar de exatidão, faça a conta em frações como eu mostrei.)
Passo 6
Interpretando os resultados: o polinômio (reta de regressão por mínimos quadrados) é
com os coeficientes que acabamos de obter.