Apresentados os dados da tabela:
x 2 4 7 11 13 15 17 19 21 23
y 3 7 11 14 18 22 26 30 35 39
Construa o polinômio de grau 1, \left(\mathrm{y}=\mathrm{a}_{0}+\mathrm{a}_{1} \mathrm{x}\right), utilizando o método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado pede construir o polinômio de grau 1 da forma \left(\mathrm{y}=\mathrm{a}_{0}+\mathrm{a}_{1}\mathrm{x}\right) que melhor ajusta os dados da tabela pelo método dos mínimos quadrados. Os dados fornecidos (peguei-os na tabela do enunciado) são os pares (x,y):
(2,3),\;(4,7),\;(7,11),\;(11,14),\;(13,18),\;(15,22),\;(17,26),\;(19,30),\;(21,35),\;(23,39).
O que precisamos determinar são os coeficientes \mathrm{a}_{0} (intercepto) e \mathrm{a}_{1} (inclinação) do ajuste linear por mínimos quadrados.

Passo 2

Vou explicar o método e as fórmulas que vamos usar (passo a passo, como você pediu).
  • Ideia: queremos a reta \mathrm{y}=\mathrm{a}_{0}+\mathrm{a}_{1}\mathrm{x}\) que minimize a soma dos quadrados dos resíduos \(\sum_{i=1}^{n}(y_i - (a_0+a_1 x_i))^2\). Impor que as derivadas parciais dessa soma em relação a \(a_0\) e \(a_1\) sejam zero dá o sistema normal: \[\begin{cases} \sum_{i=1}^n (y_i - a_0 - a_1 x_i)=0,\\[4pt] \sum_{i=1}^n x_i(y_i - a_0 - a_1 x_i)=0. \end{cases}
  • Desse sistema, resolvendo para a_1\] e \(a_0, obtemos as fórmulas práticas:
\displaystyle a_1=\frac{n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right)} {n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2},
\displaystyle a_0=\bar{y}-a_1\bar{x},
onde
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i,
e n é o número de pares de dados.
  • Aqui: n=10. Vou calcular as somas necessárias e aplicar essas fórmulas. Cada soma que eu usar virá explicitamente dos pontos da tabela.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias a partir dos dados (mostrando como somar, para você poder reproduzir na prova):
  • Soma das x:
\sum x_i = 2+4+7+11+13+15+17+19+21+23 = 132.
  • Soma das y:
\sum y_i = 3+7+11+14+18+22+26+30+35+39 = 205.
  • Soma dos quadrados de x:
\sum x_i^2 = 2^2+4^2+7^2+11^2+13^2+15^2+17^2+19^2+21^2+23^2 = 2204.
(Detalhe: calculei: 4+16+49+121+169+225+289+361+441+529=2204.)
  • Soma dos produtos x_i y_i:
\sum x_i y_i = 2\cdot3 + 4\cdot7 + 7\cdot11 + 11\cdot14 + 13\cdot18 + 15\cdot22 + 17\cdot26 + 19\cdot30 + 21\cdot35 + 23\cdot39 = 3473.
(Detalhe: os produtos são 6,28,77,154,234,330,442,570,735,897 que somam 3473.)
  • Médias:
\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{132}{10}=13,2,\qquad \bar{y}=\frac{\sum y_i}{n}=\frac{205}{10}=20,5.

Passo 4

Calcular a_1 com a fórmula, substituindo as somas que acabamos de obter:
  • Primeiro o numerador:
n\sum x_i y_i - \left(\sum x_i\right)\left(\sum y_i\right) =10\cdot3473 - 132\cdot205.
Calcule:
10\cdot3473=34730,\qquad 132\cdot205=27060,
logo
\text{numerador}=34730-27060=7670.
  • Agora o denominador:
n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2 =10\cdot2204 - 132^2.
Calcule:
10\cdot2204=22040,\qquad 132^2=17424,
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\text{denominador}=22040-17424=4616.
  • Portanto
\displaystyle a_1=\frac{7670}{4616}=\frac{3835}{2308}\approx 1,66162\\ (\text{arred.}).
Eu mostrei a fração reduzida \frac{3835}{2308} e a aproximação decimal 1,66162 (arredondei para 5 casas decimais).

Passo 5

Calcular a_0 usando a_0=\bar{y}-a_1\bar{x}:
  • Usando as médias \bar{x}=13,2 e \bar{y}=20,5 e o valor de a_1:
a_0=20,5 - \left(\frac{3835}{2308}\right)\cdot 13,2.
  • Para obter uma expressão exata, note que 13,2=\frac{66}{5}. Então
a_1\bar{x}=\frac{3835}{2308}\cdot\frac{66}{5}=\frac{253110}{11540}=\frac{25311}{1154}.
  • Como \bar{y}=\frac{41}{2}=\frac{23657}{1154} (coloquei no mesmo denominador), temos
a_0=\frac{23657}{1154}-\frac{25311}{1154}=-\frac{1654}{1154}=-\frac{827}{577}.
  • Em decimal:
a_0=-\frac{827}{577}\approx -1,43335\\ (\text{arred.}).
(Dica prática para prova: é mais rápido calcular a_0=\bar{y}-a_1\bar{x} usando as médias e a aproximação de a_1. Se precisar de exatidão, faça a conta em frações como eu mostrei.)

Passo 6

Interpretando os resultados: o polinômio (reta de regressão por mínimos quadrados) é
\displaystyle \mathrm{y} = a_0 + a_1 \mathrm{x}
com os coeficientes que acabamos de obter.

Resposta

\displaystyle y = -\frac{827}{577} + \frac{3835}{2308}\,x
\displaystyle y \approx -1,43335 + 1,66162\,x

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