Apresente as semelhanças e diferenças entre os métodos da bisseção e da falsa posição.
Passo 1
O enunciado pede para compararmos dois métodos de busca de raízes em equações não-lineares: o método da bisseção e o método da falsa posição. Vamos usar conceitos de teorema do valor intermediário e de procedimentos iterativos de refinamento de intervalo para raízes.
Passo 2
As semelhanças principais são:
• Ambos são métodos de encalhamento (bracketing) que exigem um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)·f(b)<0, garantindo existência de raiz pelo teorema do valor intermediário.
• A cada iteração reduzem o intervalo que contém a raiz para melhorar a aproximação.
• São métodos de convergência garantida e convergem linearmente, ou seja, o erro diminui em proporção fixa a cada iteração.
• Não requerem cálculo de derivadas, apenas avaliações de f(x).
• Ambos são métodos de encalhamento (bracketing) que exigem um intervalo inicial [a,b] tal que f(a)·f(b)<0, garantindo existência de raiz pelo teorema do valor intermediário.
• A cada iteração reduzem o intervalo que contém a raiz para melhorar a aproximação.
• São métodos de convergência garantida e convergem linearmente, ou seja, o erro diminui em proporção fixa a cada iteração.
• Não requerem cálculo de derivadas, apenas avaliações de f(x).
Passo 3
As diferenças principais são:
• Critério de escolha do novo ponto: a bisseção escolhe xₖ como ponto médio xₖ=(a+b)/2, enquanto a falsa posição usa interpolação linear:
• Critério de escolha do novo ponto: a bisseção escolhe xₖ como ponto médio xₖ=(a+b)/2, enquanto a falsa posição usa interpolação linear:
• Velocidade de convergência: a falsa posição pode convergir mais rápido quando f é quase linear, mas pode ficar presa num dos extremos se a curva for muito inclinada de um lado. A bisseção tem redução de intervalo constante e previsível.
• Estabilidade: a bisseção reduz sempre o intervalo pela metade, não corre risco de estagnar em um lado. A falsa posição, em certos casos, reduz pouco de um lado, tornando convergência muito lenta.
• Estabilidade: a bisseção reduz sempre o intervalo pela metade, não corre risco de estagnar em um lado. A falsa posição, em certos casos, reduz pouco de um lado, tornando convergência muito lenta.
Passo 4
Resposta
Semelhanças:
- Ambos usam teorema do valor intermediário e precisam de um intervalo [a,b] com f(a)·f(b)<0.
- Convergem de forma garantida e linear, refinando gradualmente o intervalo.
- Não exigem derivadas, apenas avaliações de f(x).
Diferenças:
- Critério do novo ponto: bisseção usa o ponto médio; falsa posição usa interpolação linear.
- Velocidade: falsa posição costuma ser mais rápida em funções quase lineares, mas pode estagnar; bisseção tem convergência previsível, sempre divide o intervalo pela metade.
- Estabilidade: bisseção nunca “gruda” num dos extremos; falsa posição pode reduzir muito pouco um dos lados, atrasando o progresso.